Lutasin ang {l}{Ax+By=C}{Dx+Cy=F}

$$\left. \begin{array} { l } { A x + B y = C } \\ { D x + C y = F } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{BF-C^{2}}{AC-BD}\text{, }y=-\frac{CD-AF}{AC-BD}\text{, }&\left(B\neq 0\text{ or }C\neq 0\right)\text{ and }\left(C\neq 0\text{ or }D\neq 0\right)\text{ and }\left(C=0\text{ or }A\neq \frac{BD}{C}\text{ or }B=0\text{ or }D=0\right)\text{ and }A\neq 0\\x=-\frac{By-C}{A}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A\neq 0\text{ and }F=\frac{BD^{2}}{A^{2}}\text{ and }C=\frac{BD}{A}\\x=\frac{BF-C^{2}}{BD}\text{, }y=\frac{C}{B}\text{, }&A=0\text{ and }D\neq 0\text{ and }B\neq 0\\x=\frac{F}{D}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A=0\text{ and }D\neq 0\text{ and }C=0\text{ and }B=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=B^{-\frac{1}{2}}\sqrt{F}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }B\neq 0\text{ and }C=\sqrt{B}\sqrt{F}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=-B^{-\frac{1}{2}}\sqrt{F}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }B\neq 0\text{ and }C=-\sqrt{B}\sqrt{F}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }F=0\text{ and }B=0\text{ and }C=0\end{matrix}\right.$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$Ax+By=C$$

I-subtract ang By mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$Ax=\left(-B\right)y+C$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang A.

$$x=\frac{1}{A}\left(\left(-B\right)y+C\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{A} times -By+C.

$$x=\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}$$

I-substitute ang \frac{-By+C}{A} para sa x sa kabilang equation na Dx+Cy=F.

$$D\left(\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}\right)+Cy=F$$

I-multiply ang D times \frac{-By+C}{A}.

$$\left(-\frac{BD}{A}\right)y+\frac{CD}{A}+Cy=F$$

Idagdag ang -\frac{DBy}{A} sa Cy.

$$\left(-\frac{BD}{A}+C\right)y+\frac{CD}{A}=F$$

I-subtract ang \frac{DC}{A} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\left(-\frac{BD}{A}+C\right)y=-\frac{CD}{A}+F$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang C-\frac{DB}{A}.

$$y=\frac{AF-CD}{AC-BD}$$

I-substitute ang \frac{FA-DC}{CA-DB} para sa y sa x=\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\left(-\frac{B}{A}\right)\times \frac{AF-CD}{AC-BD}+\frac{C}{A}$$

I-multiply ang -\frac{B}{A} times \frac{FA-DC}{CA-DB}.

$$x=-\frac{B\left(AF-CD\right)}{A\left(AC-BD\right)}+\frac{C}{A}$$

Idagdag ang \frac{C}{A} sa -\frac{B\left(FA-DC\right)}{A\left(CA-DB\right)}.

$$x=\frac{C^{2}-BF}{AC-BD}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{C^{2}-BF}{AC-BD},y=\frac{AF-CD}{AC-BD}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{C}{AC-BD}&-\frac{B}{AC-BD}\\-\frac{D}{AC-BD}&\frac{A}{AC-BD}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{C}{AC-BD}C+\left(-\frac{B}{AC-BD}\right)F\\\left(-\frac{D}{AC-BD}\right)C+\frac{A}{AC-BD}F\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{BF-C^{2}}{BD-AC}\\\frac{CD-AF}{BD-AC}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC},y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

Para gawing magkatumbas ang Ax at Dx, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang D at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang A.

$$DAx+DBy=DC,ADx+ACy=AF$$

Pasimplehin.

$$ADx+BDy=CD,ADx+ACy=AF$$

I-subtract ang ADx+ACy=AF mula sa ADx+BDy=CD sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$ADx+\left(-AD\right)x+BDy+\left(-AC\right)y=CD-AF$$

Idagdag ang DAx sa -DAx. Naka-cancel out ang term na DAx at -DAx ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$BDy+\left(-AC\right)y=CD-AF$$

Idagdag ang DBy sa -ACy.

$$\left(BD-AC\right)y=CD-AF$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang DB-AC.

$$y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$

I-substitute ang \frac{DC-AF}{DB-AC} para sa y sa Dx+Cy=F. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$Dx+C\times \frac{CD-AF}{BD-AC}=F$$

I-multiply ang C times \frac{DC-AF}{DB-AC}.

$$Dx+\frac{C\left(CD-AF\right)}{BD-AC}=F$$

I-subtract ang \frac{C\left(DC-AF\right)}{DB-AC} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$Dx=\frac{D\left(BF-C^{2}\right)}{BD-AC}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang D.

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC},y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$