Lutasin ang {l}{9x-3y-13=0}{2x+y-4=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x - 3 y - 13 = 0 } \\ { 2 x + y - 4 = 0 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$9x-3y-13=0$$

Idagdag ang 13 sa magkabilang dulo ng equation.

$$9x-3y=13$$

Idagdag ang 3y sa magkabilang dulo ng equation.

$$9x=3y+13$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(3y+13\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{9} times 3y+13.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}$$

I-substitute ang \frac{y}{3}+\frac{13}{9} para sa x sa kabilang equation na 2x+y-4=0.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}\right)+y-4=0$$

I-multiply ang 2 times \frac{y}{3}+\frac{13}{9}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{26}{9}+y-4=0$$

Idagdag ang \frac{2y}{3} sa y.

$$\frac{5}{3}y+\frac{26}{9}-4=0$$

Idagdag ang \frac{26}{9} sa -4.

$$\frac{5}{3}y-\frac{10}{9}=0$$

Idagdag ang \frac{10}{9} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{5}{3}y=\frac{10}{9}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{5}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{2}{3}$$

I-substitute ang \frac{2}{3} para sa y sa x=\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}+\frac{13}{9}$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times \frac{2}{3} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{2+13}{9}$$

Idagdag ang \frac{13}{9} sa \frac{2}{9} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{5}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{9-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{9-\left(-3\times 2\right)}&\frac{9}{9-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{15}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 13+\frac{1}{5}\times 4\\-\frac{2}{15}\times 13+\frac{3}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

Para gawing magkatumbas ang 9x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 9.

$$2\times 9x+2\left(-3\right)y+2\left(-13\right)=0,9\times 2x+9y+9\left(-4\right)=0$$

Pasimplehin.

$$18x-6y-26=0,18x+9y-36=0$$

I-subtract ang 18x+9y-36=0 mula sa 18x-6y-26=0 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$18x-18x-6y-9y-26+36=0$$

Idagdag ang 18x sa -18x. Naka-cancel out ang term na 18x at -18x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-6y-9y-26+36=0$$

Idagdag ang -6y sa -9y.

$$-15y-26+36=0$$

Idagdag ang -26 sa 36.

$$-15y+10=0$$

I-subtract ang 10 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-15y=-10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -15.

$$y=\frac{2}{3}$$

I-substitute ang \frac{2}{3} para sa y sa 2x+y-4=0. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x+\frac{2}{3}-4=0$$

Idagdag ang \frac{2}{3} sa -4.

$$2x-\frac{10}{3}=0$$

Idagdag ang \frac{10}{3} sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=\frac{10}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{5}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$