Lutasin ang {l}{9x+my+3=0}{mx+4y+2=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + m y + 3 = 0 } \\ { m x + 4 y + 2 = 0 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2}{m+6}\text{, }y=-\frac{3}{m+6}\text{, }&m\neq -6\\x=\frac{-2y-1}{3}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m=6\end{matrix}\right.$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$9x+my+3=0$$

I-subtract ang 3 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$9x+my=-3$$

I-subtract ang my mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$9x=\left(-m\right)y-3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(\left(-m\right)y-3\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{9} times -my-3.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}$$

I-substitute ang -\frac{my}{9}-\frac{1}{3} para sa x sa kabilang equation na mx+4y+2=0.

$$m\left(\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}\right)+4y+2=0$$

I-multiply ang m times -\frac{my}{9}-\frac{1}{3}.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}\right)y-\frac{m}{3}+4y+2=0$$

Idagdag ang -\frac{m^{2}y}{9} sa 4y.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y-\frac{m}{3}+2=0$$

I-subtract ang -\frac{m}{3}+2 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y=\frac{m}{3}-2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{m^{2}}{9}+4.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

I-substitute ang -\frac{3}{6+m} para sa y sa x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)\left(-\frac{3}{m+6}\right)-\frac{1}{3}$$

I-multiply ang -\frac{m}{9} times -\frac{3}{6+m}.

$$x=\frac{m}{3\left(m+6\right)}-\frac{1}{3}$$

Idagdag ang -\frac{1}{3} sa \frac{m}{3\left(6+m\right)}.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-mm}&-\frac{m}{9\times 4-mm}\\-\frac{m}{9\times 4-mm}&\frac{9}{9\times 4-mm}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}&-\frac{m}{36-m^{2}}\\-\frac{m}{36-m^{2}}&\frac{9}{36-m^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}\left(-3\right)+\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-2\right)\\\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-3\right)+\frac{9}{36-m^{2}}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{m+6}\\-\frac{3}{m+6}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

Para gawing magkatumbas ang 9x at mx, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang m at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 9.

$$m\times 9x+mmy+m\times 3=0,9mx+9\times 4y+9\times 2=0$$

Pasimplehin.

$$9mx+m^{2}y+3m=0,9mx+36y+18=0$$

I-subtract ang 9mx+36y+18=0 mula sa 9mx+m^{2}y+3m=0 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$9mx+\left(-9m\right)x+m^{2}y-36y+3m-18=0$$

Idagdag ang 9mx sa -9mx. Naka-cancel out ang term na 9mx at -9mx ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$m^{2}y-36y+3m-18=0$$

Idagdag ang m^{2}y sa -36y.

$$\left(m^{2}-36\right)y+3m-18=0$$

I-subtract ang -18+3m mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\left(m^{2}-36\right)y=18-3m$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang m^{2}-36.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

I-substitute ang -\frac{3}{6+m} para sa y sa mx+4y+2=0. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$mx+4\left(-\frac{3}{m+6}\right)+2=0$$

I-multiply ang 4 times -\frac{3}{6+m}.

$$mx-\frac{12}{m+6}+2=0$$

Idagdag ang -\frac{12}{6+m} sa 2.

$$mx+\frac{2m}{m+6}=0$$

I-subtract ang \frac{2m}{6+m} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$mx=-\frac{2m}{m+6}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang m.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

I-solve ang x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2}{m+6}\text{, }y=-\frac{3}{m+6}\text{, }&|m|\neq 6\\x=\frac{-2y-1}{3}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=6\end{matrix}\right.$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$9x+my+3=0$$

I-subtract ang 3 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$9x+my=-3$$

I-subtract ang my mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$9x=\left(-m\right)y-3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(\left(-m\right)y-3\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{9} times -my-3.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}$$

I-substitute ang -\frac{my}{9}-\frac{1}{3} para sa x sa kabilang equation na mx+4y+2=0.

$$m\left(\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}\right)+4y+2=0$$

I-multiply ang m times -\frac{my}{9}-\frac{1}{3}.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}\right)y-\frac{m}{3}+4y+2=0$$

Idagdag ang -\frac{m^{2}y}{9} sa 4y.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y-\frac{m}{3}+2=0$$

I-subtract ang -\frac{m}{3}+2 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y=\frac{m}{3}-2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{m^{2}}{9}+4.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

I-substitute ang -\frac{3}{6+m} para sa y sa x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)\left(-\frac{3}{m+6}\right)-\frac{1}{3}$$

I-multiply ang -\frac{m}{9} times -\frac{3}{6+m}.

$$x=\frac{m}{3\left(m+6\right)}-\frac{1}{3}$$

Idagdag ang -\frac{1}{3} sa \frac{m}{3\left(6+m\right)}.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-mm}&-\frac{m}{9\times 4-mm}\\-\frac{m}{9\times 4-mm}&\frac{9}{9\times 4-mm}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}&-\frac{m}{36-m^{2}}\\-\frac{m}{36-m^{2}}&\frac{9}{36-m^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}\left(-3\right)+\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-2\right)\\\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-3\right)+\frac{9}{36-m^{2}}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{m+6}\\-\frac{3}{m+6}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

Para gawing magkatumbas ang 9x at mx, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang m at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 9.

$$m\times 9x+mmy+m\times 3=0,9mx+9\times 4y+9\times 2=0$$

Pasimplehin.

$$9mx+m^{2}y+3m=0,9mx+36y+18=0$$

I-subtract ang 9mx+36y+18=0 mula sa 9mx+m^{2}y+3m=0 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$9mx+\left(-9m\right)x+m^{2}y-36y+3m-18=0$$

Idagdag ang 9mx sa -9mx. Naka-cancel out ang term na 9mx at -9mx ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$m^{2}y-36y+3m-18=0$$

Idagdag ang m^{2}y sa -36y.

$$\left(m^{2}-36\right)y+3m-18=0$$

I-subtract ang -18+3m mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\left(m^{2}-36\right)y=18-3m$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang m^{2}-36.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

I-substitute ang -\frac{3}{6+m} para sa y sa mx+4y+2=0. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$mx+4\left(-\frac{3}{m+6}\right)+2=0$$

I-multiply ang 4 times -\frac{3}{6+m}.

$$mx-\frac{12}{m+6}+2=0$$

Idagdag ang -\frac{12}{6+m} sa 2.

$$mx+\frac{2m}{m+6}=0$$

I-subtract ang \frac{2m}{6+m} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$mx=-\frac{2m}{m+6}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang m.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$