Lutasin ang {l}{9x+8y=5280x?}{8x+12y=5280*9}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 8 y = 5280 x ? } \\ { 8 x + 12 y = 5280 \times 9 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{8640}{1439} = 6\frac{6}{1439} \approx 6.004169562$$

$$y = \frac{5692680}{1439} = 3955\frac{1435}{1439} \approx 3955.997220292$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 5280x mula sa magkabilang dulo.

$$9x+8y-5280x=0$$

Pagsamahin ang 9x at -5280x para makuha ang -5271x.

$$-5271x+8y=0$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-multiply ang 5280 at 9 para makuha ang 47520.

$$8x+12y=47520$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-5271x+8y=0,8x+12y=47520$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-5271x+8y=0$$

I-subtract ang 8y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-5271x=-8y$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -5271.

$$x=-\frac{1}{5271}\left(-8\right)y$$

I-multiply ang -\frac{1}{5271} times -8y.

$$x=\frac{8}{5271}y$$

I-substitute ang \frac{8y}{5271} para sa x sa kabilang equation na 8x+12y=47520.

$$8\times \frac{8}{5271}y+12y=47520$$

I-multiply ang 8 times \frac{8y}{5271}.

$$\frac{64}{5271}y+12y=47520$$

Idagdag ang \frac{64y}{5271} sa 12y.

$$\frac{63316}{5271}y=47520$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{63316}{5271}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{5692680}{1439}$$

I-substitute ang \frac{5692680}{1439} para sa y sa x=\frac{8}{5271}y. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{8}{5271}\times \frac{5692680}{1439}$$

I-multiply ang \frac{8}{5271} times \frac{5692680}{1439} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{8640}{1439}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{8640}{1439},y=\frac{5692680}{1439}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 5280x mula sa magkabilang dulo.

$$9x+8y-5280x=0$$

Pagsamahin ang 9x at -5280x para makuha ang -5271x.

$$-5271x+8y=0$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-multiply ang 5280 at 9 para makuha ang 47520.

$$8x+12y=47520$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-5271x+8y=0,8x+12y=47520$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-5271&8\\8&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\47520\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-5271&8\\8&12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5271&8\\8&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5271&8\\8&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5271&8\\8&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\47520\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5271&8\\8&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\47520\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5271&8\\8&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\47520\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{-5271\times 12-8\times 8}&-\frac{8}{-5271\times 12-8\times 8}\\-\frac{8}{-5271\times 12-8\times 8}&-\frac{5271}{-5271\times 12-8\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\47520\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{15829}&\frac{2}{15829}\\\frac{2}{15829}&\frac{5271}{63316}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\47520\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15829}\times 47520\\\frac{5271}{63316}\times 47520\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8640}{1439}\\\frac{5692680}{1439}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{8640}{1439},y=\frac{5692680}{1439}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 5280x mula sa magkabilang dulo.

$$9x+8y-5280x=0$$

Pagsamahin ang 9x at -5280x para makuha ang -5271x.

$$-5271x+8y=0$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-multiply ang 5280 at 9 para makuha ang 47520.

$$8x+12y=47520$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-5271x+8y=0,8x+12y=47520$$

Para gawing magkatumbas ang -5271x at 8x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 8 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -5271.

$$8\left(-5271\right)x+8\times 8y=0,-5271\times 8x-5271\times 12y=-5271\times 47520$$

Pasimplehin.

$$-42168x+64y=0,-42168x-63252y=-250477920$$

I-subtract ang -42168x-63252y=-250477920 mula sa -42168x+64y=0 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-42168x+42168x+64y+63252y=250477920$$

Idagdag ang -42168x sa 42168x. Naka-cancel out ang term na -42168x at 42168x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$64y+63252y=250477920$$

Idagdag ang 64y sa 63252y.

$$63316y=250477920$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 63316.

$$y=\frac{5692680}{1439}$$

I-substitute ang \frac{5692680}{1439} para sa y sa 8x+12y=47520. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$8x+12\times \frac{5692680}{1439}=47520$$

I-multiply ang 12 times \frac{5692680}{1439}.

$$8x+\frac{68312160}{1439}=47520$$

I-subtract ang \frac{68312160}{1439} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$8x=\frac{69120}{1439}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$x=\frac{8640}{1439}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{8640}{1439},y=\frac{5692680}{1439}$$