Lutasin ang {l}{9x+7y=6}{8x+3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 7 y = 6 } \\ { 8 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{45}{29} = 1\frac{16}{29} \approx 1.551724138$$

$$y = -\frac{33}{29} = -1\frac{4}{29} \approx -1.137931034$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$9x+7y=6,8x+3y=9$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$9x+7y=6$$

I-subtract ang 7y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$9x=-7y+6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(-7y+6\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{9} times -7y+6.

$$x=-\frac{7}{9}y+\frac{2}{3}$$

I-substitute ang -\frac{7y}{9}+\frac{2}{3} para sa x sa kabilang equation na 8x+3y=9.

$$8\left(-\frac{7}{9}y+\frac{2}{3}\right)+3y=9$$

I-multiply ang 8 times -\frac{7y}{9}+\frac{2}{3}.

$$-\frac{56}{9}y+\frac{16}{3}+3y=9$$

Idagdag ang -\frac{56y}{9} sa 3y.

$$-\frac{29}{9}y+\frac{16}{3}=9$$

I-subtract ang \frac{16}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{29}{9}y=\frac{11}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{29}{9}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-\frac{33}{29}$$

I-substitute ang -\frac{33}{29} para sa y sa x=-\frac{7}{9}y+\frac{2}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{7}{9}\left(-\frac{33}{29}\right)+\frac{2}{3}$$

I-multiply ang -\frac{7}{9} times -\frac{33}{29} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{77}{87}+\frac{2}{3}$$

Idagdag ang \frac{2}{3} sa \frac{77}{87} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{45}{29}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{45}{29},y=-\frac{33}{29}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$9x+7y=6,8x+3y=9$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9\times 3-7\times 8}&-\frac{7}{9\times 3-7\times 8}\\-\frac{8}{9\times 3-7\times 8}&\frac{9}{9\times 3-7\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{29}&\frac{7}{29}\\\frac{8}{29}&-\frac{9}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{29}\times 6+\frac{7}{29}\times 9\\\frac{8}{29}\times 6-\frac{9}{29}\times 9\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{45}{29}\\-\frac{33}{29}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{45}{29},y=-\frac{33}{29}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$9x+7y=6,8x+3y=9$$

Para gawing magkatumbas ang 9x at 8x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 8 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 9.

$$8\times 9x+8\times 7y=8\times 6,9\times 8x+9\times 3y=9\times 9$$

Pasimplehin.

$$72x+56y=48,72x+27y=81$$

I-subtract ang 72x+27y=81 mula sa 72x+56y=48 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$72x-72x+56y-27y=48-81$$

Idagdag ang 72x sa -72x. Naka-cancel out ang term na 72x at -72x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$56y-27y=48-81$$

Idagdag ang 56y sa -27y.

$$29y=48-81$$

Idagdag ang 48 sa -81.

$$29y=-33$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 29.

$$y=-\frac{33}{29}$$

I-substitute ang -\frac{33}{29} para sa y sa 8x+3y=9. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$8x+3\left(-\frac{33}{29}\right)=9$$

I-multiply ang 3 times -\frac{33}{29}.

$$8x-\frac{99}{29}=9$$

Idagdag ang \frac{99}{29} sa magkabilang dulo ng equation.

$$8x=\frac{360}{29}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$x=\frac{45}{29}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{45}{29},y=-\frac{33}{29}$$