Lutasin ang {l}{9v+2w=7}{3v-8w=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 v + 2 w = 7 } \\ { 3 v - 8 w = - 2 } \end{array} \right.$$

I-solve ang v, w

$$v=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$w=\frac{1}{2}=0.5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa v sa pamamagitan ng pag-isolate sa v sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$9v+2w=7$$

I-subtract ang 2w mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$9v=-2w+7$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 9.

$$v=\frac{1}{9}\left(-2w+7\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{9} times -2w+7.

$$v=-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9}$$

I-substitute ang \frac{-2w+7}{9} para sa v sa kabilang equation na 3v-8w=-2.

$$3\left(-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9}\right)-8w=-2$$

I-multiply ang 3 times \frac{-2w+7}{9}.

$$-\frac{2}{3}w+\frac{7}{3}-8w=-2$$

Idagdag ang -\frac{2w}{3} sa -8w.

$$-\frac{26}{3}w+\frac{7}{3}=-2$$

I-subtract ang \frac{7}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{26}{3}w=-\frac{13}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{26}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$w=\frac{1}{2}$$

I-substitute ang \frac{1}{2} para sa w sa v=-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang v nang direkta.

$$v=-\frac{2}{9}\times \frac{1}{2}+\frac{7}{9}$$

I-multiply ang -\frac{2}{9} times \frac{1}{2} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$v=\frac{-1+7}{9}$$

Idagdag ang \frac{7}{9} sa -\frac{1}{9} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$v=\frac{2}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{9\left(-8\right)-2\times 3}&-\frac{2}{9\left(-8\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{9\left(-8\right)-2\times 3}&\frac{9}{9\left(-8\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&\frac{1}{39}\\\frac{1}{26}&-\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 7+\frac{1}{39}\left(-2\right)\\\frac{1}{26}\times 7-\frac{3}{26}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na v at w.

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

Para gawing magkatumbas ang 9v at 3v, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 9.

$$3\times 9v+3\times 2w=3\times 7,9\times 3v+9\left(-8\right)w=9\left(-2\right)$$

Pasimplehin.

$$27v+6w=21,27v-72w=-18$$

I-subtract ang 27v-72w=-18 mula sa 27v+6w=21 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$27v-27v+6w+72w=21+18$$

Idagdag ang 27v sa -27v. Naka-cancel out ang term na 27v at -27v ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$6w+72w=21+18$$

Idagdag ang 6w sa 72w.

$$78w=21+18$$

Idagdag ang 21 sa 18.

$$78w=39$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 78.

$$w=\frac{1}{2}$$

I-substitute ang \frac{1}{2} para sa w sa 3v-8w=-2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang v nang direkta.

$$3v-8\times \frac{1}{2}=-2$$

I-multiply ang -8 times \frac{1}{2}.

$$3v-4=-2$$

Idagdag ang 4 sa magkabilang dulo ng equation.

$$3v=2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$v=\frac{2}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$