Lutasin ang {l}{8y+x=7}{7y+8x=16}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 y + x = 7 } \\ { 7 y + 8 x = 16 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x = \frac{79}{57} = 1\frac{22}{57} \approx 1.385964912$$

$$y=\frac{40}{57}\approx 0.701754386$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$8y+x=7,7y+8x=16$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$8y+x=7$$

I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$8y=-x+7$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$y=\frac{1}{8}\left(-x+7\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{8} times -x+7.

$$y=-\frac{1}{8}x+\frac{7}{8}$$

I-substitute ang \frac{-x+7}{8} para sa y sa kabilang equation na 7y+8x=16.

$$7\left(-\frac{1}{8}x+\frac{7}{8}\right)+8x=16$$

I-multiply ang 7 times \frac{-x+7}{8}.

$$-\frac{7}{8}x+\frac{49}{8}+8x=16$$

Idagdag ang -\frac{7x}{8} sa 8x.

$$\frac{57}{8}x+\frac{49}{8}=16$$

I-subtract ang \frac{49}{8} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{57}{8}x=\frac{79}{8}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{57}{8}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=\frac{79}{57}$$

I-substitute ang \frac{79}{57} para sa x sa y=-\frac{1}{8}x+\frac{7}{8}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=-\frac{1}{8}\times \frac{79}{57}+\frac{7}{8}$$

I-multiply ang -\frac{1}{8} times \frac{79}{57} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$y=-\frac{79}{456}+\frac{7}{8}$$

Idagdag ang \frac{7}{8} sa -\frac{79}{456} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$y=\frac{40}{57}$$

Nalutas na ang system.

$$y=\frac{40}{57},x=\frac{79}{57}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$8y+x=7,7y+8x=16$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8\times 8-7}&-\frac{1}{8\times 8-7}\\-\frac{7}{8\times 8-7}&\frac{8}{8\times 8-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{57}&-\frac{1}{57}\\-\frac{7}{57}&\frac{8}{57}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{57}\times 7-\frac{1}{57}\times 16\\-\frac{7}{57}\times 7+\frac{8}{57}\times 16\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{57}\\\frac{79}{57}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=\frac{40}{57},x=\frac{79}{57}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$8y+x=7,7y+8x=16$$

Para gawing magkatumbas ang 8y at 7y, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 7 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 8.

$$7\times 8y+7x=7\times 7,8\times 7y+8\times 8x=8\times 16$$

Pasimplehin.

$$56y+7x=49,56y+64x=128$$

I-subtract ang 56y+64x=128 mula sa 56y+7x=49 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$56y-56y+7x-64x=49-128$$

Idagdag ang 56y sa -56y. Naka-cancel out ang term na 56y at -56y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$7x-64x=49-128$$

Idagdag ang 7x sa -64x.

$$-57x=49-128$$

Idagdag ang 49 sa -128.

$$-57x=-79$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -57.

$$x=\frac{79}{57}$$

I-substitute ang \frac{79}{57} para sa x sa 7y+8x=16. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$7y+8\times \frac{79}{57}=16$$

I-multiply ang 8 times \frac{79}{57}.

$$7y+\frac{632}{57}=16$$

I-subtract ang \frac{632}{57} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$7y=\frac{280}{57}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$y=\frac{40}{57}$$

Nalutas na ang system.

$$y=\frac{40}{57},x=\frac{79}{57}$$