Lutasin ang {l}{8x-9y=15}{-5x+3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 9 y = 15 } \\ { - 5 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-6$$

$$y=-7$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$8x-9y=15,-5x+3y=9$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$8x-9y=15$$

Idagdag ang 9y sa magkabilang dulo ng equation.

$$8x=9y+15$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(9y+15\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{8} times 9y+15.

$$x=\frac{9}{8}y+\frac{15}{8}$$

I-substitute ang \frac{9y+15}{8} para sa x sa kabilang equation na -5x+3y=9.

$$-5\left(\frac{9}{8}y+\frac{15}{8}\right)+3y=9$$

I-multiply ang -5 times \frac{9y+15}{8}.

$$-\frac{45}{8}y-\frac{75}{8}+3y=9$$

Idagdag ang -\frac{45y}{8} sa 3y.

$$-\frac{21}{8}y-\frac{75}{8}=9$$

Idagdag ang \frac{75}{8} sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{21}{8}y=\frac{147}{8}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{21}{8}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-7$$

I-substitute ang -7 para sa y sa x=\frac{9}{8}y+\frac{15}{8}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{9}{8}\left(-7\right)+\frac{15}{8}$$

I-multiply ang \frac{9}{8} times -7.

$$x=\frac{-63+15}{8}$$

Idagdag ang \frac{15}{8} sa -\frac{63}{8} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-6$$

Nalutas na ang system.

$$x=-6,y=-7$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$8x-9y=15,-5x+3y=9$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}&-\frac{-9}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}&\frac{8}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{5}{21}&-\frac{8}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 15-\frac{3}{7}\times 9\\-\frac{5}{21}\times 15-\frac{8}{21}\times 9\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-7\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-6,y=-7$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$8x-9y=15,-5x+3y=9$$

Para gawing magkatumbas ang 8x at -5x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -5 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 8.

$$-5\times 8x-5\left(-9\right)y=-5\times 15,8\left(-5\right)x+8\times 3y=8\times 9$$

Pasimplehin.

$$-40x+45y=-75,-40x+24y=72$$

I-subtract ang -40x+24y=72 mula sa -40x+45y=-75 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-40x+40x+45y-24y=-75-72$$

Idagdag ang -40x sa 40x. Naka-cancel out ang term na -40x at 40x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$45y-24y=-75-72$$

Idagdag ang 45y sa -24y.

$$21y=-75-72$$

Idagdag ang -75 sa -72.

$$21y=-147$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 21.

$$y=-7$$

I-substitute ang -7 para sa y sa -5x+3y=9. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-5x+3\left(-7\right)=9$$

I-multiply ang 3 times -7.

$$-5x-21=9$$

Idagdag ang 21 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-5x=30$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -5.

$$x=-6$$

Nalutas na ang system.

$$x=-6,y=-7$$