Lutasin ang {l}{8x-5y-3=0}{5*(y-3x)=-10}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 5 y - 3 = 0 } \\ { 5 \cdot ( y - 3 x ) = - 10 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang 3 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$8x-5y=3$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$y-3x=\frac{-10}{5}$$

I-divide ang -10 gamit ang 5 para makuha ang -2.

$$y-3x=-2$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$8x-5y=3,-3x+y=-2$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$8x-5y=3$$

Idagdag ang 5y sa magkabilang dulo ng equation.

$$8x=5y+3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(5y+3\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{8} times 5y+3.

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{3}{8}$$

I-substitute ang \frac{5y+3}{8} para sa x sa kabilang equation na -3x+y=-2.

$$-3\left(\frac{5}{8}y+\frac{3}{8}\right)+y=-2$$

I-multiply ang -3 times \frac{5y+3}{8}.

$$-\frac{15}{8}y-\frac{9}{8}+y=-2$$

Idagdag ang -\frac{15y}{8} sa y.

$$-\frac{7}{8}y-\frac{9}{8}=-2$$

Idagdag ang \frac{9}{8} sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{7}{8}y=-\frac{7}{8}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{7}{8}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=1$$

I-substitute ang 1 para sa y sa x=\frac{5}{8}y+\frac{3}{8}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{5+3}{8}$$

Idagdag ang \frac{3}{8} sa \frac{5}{8} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang 3 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$8x-5y=3$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$y-3x=\frac{-10}{5}$$

I-divide ang -10 gamit ang 5 para makuha ang -2.

$$y-3x=-2$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$8x-5y=3,-3x+y=-2$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}&-\frac{-5}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}&\frac{8}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&-\frac{5}{7}\\-\frac{3}{7}&-\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 3-\frac{5}{7}\left(-2\right)\\-\frac{3}{7}\times 3-\frac{8}{7}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=1,y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang 3 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$8x-5y=3$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$y-3x=\frac{-10}{5}$$

I-divide ang -10 gamit ang 5 para makuha ang -2.

$$y-3x=-2$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$8x-5y=3,-3x+y=-2$$

Para gawing magkatumbas ang 8x at -3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 8.

$$-3\times 8x-3\left(-5\right)y=-3\times 3,8\left(-3\right)x+8y=8\left(-2\right)$$

Pasimplehin.

$$-24x+15y=-9,-24x+8y=-16$$

I-subtract ang -24x+8y=-16 mula sa -24x+15y=-9 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-24x+24x+15y-8y=-9+16$$

Idagdag ang -24x sa 24x. Naka-cancel out ang term na -24x at 24x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$15y-8y=-9+16$$

Idagdag ang 15y sa -8y.

$$7y=-9+16$$

Idagdag ang -9 sa 16.

$$7y=7$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$y=1$$

I-substitute ang 1 para sa y sa -3x+y=-2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-3x+1=-2$$

I-subtract ang 1 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-3x=-3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=1$$