Lutasin ang {l}{8x+8y=35}{6x-6y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 8 y = 35 } \\ { 6 x - 6 y = 7 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{133}{48} = 2\frac{37}{48} \approx 2.770833333$$

$$y = \frac{77}{48} = 1\frac{29}{48} \approx 1.604166667$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$8x+8y=35,6x-6y=7$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$8x+8y=35$$

I-subtract ang 8y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$8x=-8y+35$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-8y+35\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{8} times -8y+35.

$$x=-y+\frac{35}{8}$$

I-substitute ang -y+\frac{35}{8} para sa x sa kabilang equation na 6x-6y=7.

$$6\left(-y+\frac{35}{8}\right)-6y=7$$

I-multiply ang 6 times -y+\frac{35}{8}.

$$-6y+\frac{105}{4}-6y=7$$

Idagdag ang -6y sa -6y.

$$-12y+\frac{105}{4}=7$$

I-subtract ang \frac{105}{4} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-12y=-\frac{77}{4}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -12.

$$y=\frac{77}{48}$$

I-substitute ang \frac{77}{48} para sa y sa x=-y+\frac{35}{8}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{77}{48}+\frac{35}{8}$$

Idagdag ang \frac{35}{8} sa -\frac{77}{48} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{133}{48}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{133}{48},y=\frac{77}{48}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$8x+8y=35,6x-6y=7$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}8&8\\6&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}8&8\\6&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&8\\6&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&8\\6&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&8\\6&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\7\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&8\\6&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&8\\6&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\7\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{8\left(-6\right)-8\times 6}&-\frac{8}{8\left(-6\right)-8\times 6}\\-\frac{6}{8\left(-6\right)-8\times 6}&\frac{8}{8\left(-6\right)-8\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}&\frac{1}{12}\\\frac{1}{16}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}\times 35+\frac{1}{12}\times 7\\\frac{1}{16}\times 35-\frac{1}{12}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{133}{48}\\\frac{77}{48}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{133}{48},y=\frac{77}{48}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$8x+8y=35,6x-6y=7$$

Para gawing magkatumbas ang 8x at 6x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 6 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 8.

$$6\times 8x+6\times 8y=6\times 35,8\times 6x+8\left(-6\right)y=8\times 7$$

Pasimplehin.

$$48x+48y=210,48x-48y=56$$

I-subtract ang 48x-48y=56 mula sa 48x+48y=210 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$48x-48x+48y+48y=210-56$$

Idagdag ang 48x sa -48x. Naka-cancel out ang term na 48x at -48x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$48y+48y=210-56$$

Idagdag ang 48y sa 48y.

$$96y=210-56$$

Idagdag ang 210 sa -56.

$$96y=154$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 96.

$$y=\frac{77}{48}$$

I-substitute ang \frac{77}{48} para sa y sa 6x-6y=7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$6x-6\times \frac{77}{48}=7$$

I-multiply ang -6 times \frac{77}{48}.

$$6x-\frac{77}{8}=7$$

Idagdag ang \frac{77}{8} sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x=\frac{133}{8}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$x=\frac{133}{48}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{133}{48},y=\frac{77}{48}$$