Lutasin ang {l}{8x+3y=103.1}{12x+8y=139.4}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 3 y = 103.1 } \\ { 12 x + 8 y = 139.4 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{2033}{140} = 14\frac{73}{140} \approx 14.521428571$$

$$y = -\frac{61}{14} = -4\frac{5}{14} \approx -4.357142857$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$8x+3y=103.1,12x+8y=139.4$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$8x+3y=103.1$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$8x=-3y+103.1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-3y+103.1\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{8} times -3y+103.1.

$$x=-\frac{3}{8}y+\frac{1031}{80}$$

I-substitute ang -\frac{3y}{8}+\frac{1031}{80} para sa x sa kabilang equation na 12x+8y=139.4.

$$12\left(-\frac{3}{8}y+\frac{1031}{80}\right)+8y=139.4$$

I-multiply ang 12 times -\frac{3y}{8}+\frac{1031}{80}.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{3093}{20}+8y=139.4$$

Idagdag ang -\frac{9y}{2} sa 8y.

$$\frac{7}{2}y+\frac{3093}{20}=139.4$$

I-subtract ang \frac{3093}{20} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{7}{2}y=-\frac{61}{4}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{7}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-\frac{61}{14}$$

I-substitute ang -\frac{61}{14} para sa y sa x=-\frac{3}{8}y+\frac{1031}{80}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{3}{8}\left(-\frac{61}{14}\right)+\frac{1031}{80}$$

I-multiply ang -\frac{3}{8} times -\frac{61}{14} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{183}{112}+\frac{1031}{80}$$

Idagdag ang \frac{1031}{80} sa \frac{183}{112} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{2033}{140}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{2033}{140},y=-\frac{61}{14}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$8x+3y=103.1,12x+8y=139.4$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8\times 8-3\times 12}&-\frac{3}{8\times 8-3\times 12}\\-\frac{12}{8\times 8-3\times 12}&\frac{8}{8\times 8-3\times 12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{3}{28}\\-\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 103.1-\frac{3}{28}\times 139.4\\-\frac{3}{7}\times 103.1+\frac{2}{7}\times 139.4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2033}{140}\\-\frac{61}{14}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{2033}{140},y=-\frac{61}{14}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$8x+3y=103.1,12x+8y=139.4$$

Para gawing magkatumbas ang 8x at 12x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 12 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 8.

$$12\times 8x+12\times 3y=12\times 103.1,8\times 12x+8\times 8y=8\times 139.4$$

Pasimplehin.

$$96x+36y=1237.2,96x+64y=1115.2$$

I-subtract ang 96x+64y=1115.2 mula sa 96x+36y=1237.2 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$96x-96x+36y-64y=\frac{6186-5576}{5}$$

Idagdag ang 96x sa -96x. Naka-cancel out ang term na 96x at -96x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$36y-64y=\frac{6186-5576}{5}$$

Idagdag ang 36y sa -64y.

$$-28y=\frac{6186-5576}{5}$$

Idagdag ang 1237.2 sa -1115.2 sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$-28y=122$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -28.

$$y=-\frac{61}{14}$$

I-substitute ang -\frac{61}{14} para sa y sa 12x+8y=139.4. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$12x+8\left(-\frac{61}{14}\right)=139.4$$

I-multiply ang 8 times -\frac{61}{14}.

$$12x-\frac{244}{7}=139.4$$

Idagdag ang \frac{244}{7} sa magkabilang dulo ng equation.

$$12x=\frac{6099}{35}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 12.

$$x=\frac{2033}{140}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{2033}{140},y=-\frac{61}{14}$$