Lutasin ang {l}{8x+2y=104}{1x+1y=25}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 2 y = 104 } \\ { 1 x + 1 y = 25 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=9$$

$$y=16$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$8x+2y=104,x+y=25$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$8x+2y=104$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$8x=-2y+104$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+104\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{8} times -2y+104.

$$x=-\frac{1}{4}y+13$$

I-substitute ang -\frac{y}{4}+13 para sa x sa kabilang equation na x+y=25.

$$-\frac{1}{4}y+13+y=25$$

Idagdag ang -\frac{y}{4} sa y.

$$\frac{3}{4}y+13=25$$

I-subtract ang 13 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{3}{4}y=12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{3}{4}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=16$$

I-substitute ang 16 para sa y sa x=-\frac{1}{4}y+13. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{4}\times 16+13$$

I-multiply ang -\frac{1}{4} times 16.

$$x=-4+13$$

Idagdag ang 13 sa -4.

$$x=9$$

Nalutas na ang system.

$$x=9,y=16$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$8x+2y=104,x+y=25$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}104\\25\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}104\\25\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}104\\25\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}104\\25\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-2}&-\frac{2}{8-2}\\-\frac{1}{8-2}&\frac{8}{8-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}104\\25\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{6}&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}104\\25\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 104-\frac{1}{3}\times 25\\-\frac{1}{6}\times 104+\frac{4}{3}\times 25\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=9,y=16$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$8x+2y=104,x+y=25$$

Para gawing magkatumbas ang 8x at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 8.

$$8x+2y=104,8x+8y=8\times 25$$

Pasimplehin.

$$8x+2y=104,8x+8y=200$$

I-subtract ang 8x+8y=200 mula sa 8x+2y=104 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$8x-8x+2y-8y=104-200$$

Idagdag ang 8x sa -8x. Naka-cancel out ang term na 8x at -8x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$2y-8y=104-200$$

Idagdag ang 2y sa -8y.

$$-6y=104-200$$

Idagdag ang 104 sa -200.

$$-6y=-96$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -6.

$$y=16$$

I-substitute ang 16 para sa y sa x+y=25. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x+16=25$$

I-subtract ang 16 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=9$$

Nalutas na ang system.

$$x=9,y=16$$