Lutasin ang {l}{8a-b=9}{4a+9b=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 a - b = 9 } \\ { 4 a + 9 b = 7 } \end{array} \right.$$

I-solve ang a, b

$$a = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

$$b=\frac{5}{19}\approx 0.263157895$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa a sa pamamagitan ng pag-isolate sa a sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$8a-b=9$$

Idagdag ang b sa magkabilang dulo ng equation.

$$8a=b+9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$a=\frac{1}{8}\left(b+9\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{8} times b+9.

$$a=\frac{1}{8}b+\frac{9}{8}$$

I-substitute ang \frac{9+b}{8} para sa a sa kabilang equation na 4a+9b=7.

$$4\left(\frac{1}{8}b+\frac{9}{8}\right)+9b=7$$

I-multiply ang 4 times \frac{9+b}{8}.

$$\frac{1}{2}b+\frac{9}{2}+9b=7$$

Idagdag ang \frac{b}{2} sa 9b.

$$\frac{19}{2}b+\frac{9}{2}=7$$

I-subtract ang \frac{9}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{19}{2}b=\frac{5}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{19}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$b=\frac{5}{19}$$

I-substitute ang \frac{5}{19} para sa b sa a=\frac{1}{8}b+\frac{9}{8}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$a=\frac{1}{8}\times \frac{5}{19}+\frac{9}{8}$$

I-multiply ang \frac{1}{8} times \frac{5}{19} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$a=\frac{5}{152}+\frac{9}{8}$$

Idagdag ang \frac{9}{8} sa \frac{5}{152} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$a=\frac{22}{19}$$

Nalutas na ang system.

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{8\times 9-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{8\times 9-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{8\times 9-\left(-4\right)}&\frac{8}{8\times 9-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{76}&\frac{1}{76}\\-\frac{1}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{76}\times 9+\frac{1}{76}\times 7\\-\frac{1}{19}\times 9+\frac{2}{19}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\\frac{5}{19}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na a at b.

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

Para gawing magkatumbas ang 8a at 4a, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 8.

$$4\times 8a+4\left(-1\right)b=4\times 9,8\times 4a+8\times 9b=8\times 7$$

Pasimplehin.

$$32a-4b=36,32a+72b=56$$

I-subtract ang 32a+72b=56 mula sa 32a-4b=36 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$32a-32a-4b-72b=36-56$$

Idagdag ang 32a sa -32a. Naka-cancel out ang term na 32a at -32a ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-4b-72b=36-56$$

Idagdag ang -4b sa -72b.

$$-76b=36-56$$

Idagdag ang 36 sa -56.

$$-76b=-20$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -76.

$$b=\frac{5}{19}$$

I-substitute ang \frac{5}{19} para sa b sa 4a+9b=7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$4a+9\times \frac{5}{19}=7$$

I-multiply ang 9 times \frac{5}{19}.

$$4a+\frac{45}{19}=7$$

I-subtract ang \frac{45}{19} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4a=\frac{88}{19}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$a=\frac{22}{19}$$

Nalutas na ang system.

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$