Lutasin ang {l}{7x-3y=8}{3x-y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x - 3 y = 8 } \\ { 3 x - y = 8 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=8$$

$$y=16$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$7x-3y=8,3x-y=8$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$7x-3y=8$$

Idagdag ang 3y sa magkabilang dulo ng equation.

$$7x=3y+8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(3y+8\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{7} times 3y+8.

$$x=\frac{3}{7}y+\frac{8}{7}$$

I-substitute ang \frac{3y+8}{7} para sa x sa kabilang equation na 3x-y=8.

$$3\left(\frac{3}{7}y+\frac{8}{7}\right)-y=8$$

I-multiply ang 3 times \frac{3y+8}{7}.

$$\frac{9}{7}y+\frac{24}{7}-y=8$$

Idagdag ang \frac{9y}{7} sa -y.

$$\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}=8$$

I-subtract ang \frac{24}{7} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{2}{7}y=\frac{32}{7}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{2}{7}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=16$$

I-substitute ang 16 para sa y sa x=\frac{3}{7}y+\frac{8}{7}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{3}{7}\times 16+\frac{8}{7}$$

I-multiply ang \frac{3}{7} times 16.

$$x=\frac{48+8}{7}$$

Idagdag ang \frac{8}{7} sa \frac{48}{7} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=8$$

Nalutas na ang system.

$$x=8,y=16$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$7x-3y=8,3x-y=8$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}7&-3\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}7&-3\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-3\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{7\left(-1\right)-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{7\left(-1\right)-\left(-3\times 3\right)}&\frac{7}{7\left(-1\right)-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\-\frac{3}{2}&\frac{7}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 8+\frac{3}{2}\times 8\\-\frac{3}{2}\times 8+\frac{7}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=8,y=16$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$7x-3y=8,3x-y=8$$

Para gawing magkatumbas ang 7x at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 7.

$$3\times 7x+3\left(-3\right)y=3\times 8,7\times 3x+7\left(-1\right)y=7\times 8$$

Pasimplehin.

$$21x-9y=24,21x-7y=56$$

I-subtract ang 21x-7y=56 mula sa 21x-9y=24 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$21x-21x-9y+7y=24-56$$

Idagdag ang 21x sa -21x. Naka-cancel out ang term na 21x at -21x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-9y+7y=24-56$$

Idagdag ang -9y sa 7y.

$$-2y=24-56$$

Idagdag ang 24 sa -56.

$$-2y=-32$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$y=16$$

I-substitute ang 16 para sa y sa 3x-y=8. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x-16=8$$

Idagdag ang 16 sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=24$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=8$$

Nalutas na ang system.

$$x=8,y=16$$