Lutasin ang {l}{7x=y-39}{11x=y+9}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x = y - 39 } \\ { 11 x = y + 9 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=12$$

$$y=123$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$7x-y=-39$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$11x-y=9$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$7x-y=-39,11x-y=9$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$7x-y=-39$$

Idagdag ang y sa magkabilang dulo ng equation.

$$7x=y-39$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(y-39\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{7} times y-39.

$$x=\frac{1}{7}y-\frac{39}{7}$$

I-substitute ang \frac{-39+y}{7} para sa x sa kabilang equation na 11x-y=9.

$$11\left(\frac{1}{7}y-\frac{39}{7}\right)-y=9$$

I-multiply ang 11 times \frac{-39+y}{7}.

$$\frac{11}{7}y-\frac{429}{7}-y=9$$

Idagdag ang \frac{11y}{7} sa -y.

$$\frac{4}{7}y-\frac{429}{7}=9$$

Idagdag ang \frac{429}{7} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{4}{7}y=\frac{492}{7}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{4}{7}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=123$$

I-substitute ang 123 para sa y sa x=\frac{1}{7}y-\frac{39}{7}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{1}{7}\times 123-\frac{39}{7}$$

I-multiply ang \frac{1}{7} times 123.

$$x=\frac{123-39}{7}$$

Idagdag ang -\frac{39}{7} sa \frac{123}{7} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=12$$

Nalutas na ang system.

$$x=12,y=123$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$7x-y=-39$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$11x-y=9$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$7x-y=-39,11x-y=9$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&-\frac{-1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\\-\frac{11}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&\frac{7}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{11}{4}&\frac{7}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-39\right)+\frac{1}{4}\times 9\\-\frac{11}{4}\left(-39\right)+\frac{7}{4}\times 9\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\123\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=12,y=123$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$7x-y=-39$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$11x-y=9$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$7x-y=-39,11x-y=9$$

I-subtract ang 11x-y=9 mula sa 7x-y=-39 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$7x-11x-y+y=-39-9$$

Idagdag ang -y sa y. Naka-cancel out ang term na -y at y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$7x-11x=-39-9$$

Idagdag ang 7x sa -11x.

$$-4x=-39-9$$

Idagdag ang -39 sa -9.

$$-4x=-48$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$x=12$$

I-substitute ang 12 para sa x sa 11x-y=9. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$11\times 12-y=9$$

I-multiply ang 11 times 12.

$$132-y=9$$

I-subtract ang 132 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-y=-123$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$y=123$$

Nalutas na ang system.

$$x=12,y=123$$