Lutasin ang {l}{7x+y=-9}{-3x-y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + y = - 9 } \\ { - 3 x - y = 5 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$7x+y=-9,-3x-y=5$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$7x+y=-9$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$7x=-y-9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-y-9\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{7} times -y-9.

$$x=-\frac{1}{7}y-\frac{9}{7}$$

I-substitute ang \frac{-y-9}{7} para sa x sa kabilang equation na -3x-y=5.

$$-3\left(-\frac{1}{7}y-\frac{9}{7}\right)-y=5$$

I-multiply ang -3 times \frac{-y-9}{7}.

$$\frac{3}{7}y+\frac{27}{7}-y=5$$

Idagdag ang \frac{3y}{7} sa -y.

$$-\frac{4}{7}y+\frac{27}{7}=5$$

I-subtract ang \frac{27}{7} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{4}{7}y=\frac{8}{7}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{4}{7}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-2$$

I-substitute ang -2 para sa y sa x=-\frac{1}{7}y-\frac{9}{7}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-2\right)-\frac{9}{7}$$

I-multiply ang -\frac{1}{7} times -2.

$$x=\frac{2-9}{7}$$

Idagdag ang -\frac{9}{7} sa \frac{2}{7} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-1$$

Nalutas na ang system.

$$x=-1,y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$7x+y=-9,-3x-y=5$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-3\right)}&-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{7\left(-1\right)-\left(-3\right)}&\frac{7}{7\left(-1\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{4}&-\frac{7}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-9\right)+\frac{1}{4}\times 5\\-\frac{3}{4}\left(-9\right)-\frac{7}{4}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-1,y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$7x+y=-9,-3x-y=5$$

Para gawing magkatumbas ang 7x at -3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 7.

$$-3\times 7x-3y=-3\left(-9\right),7\left(-3\right)x+7\left(-1\right)y=7\times 5$$

Pasimplehin.

$$-21x-3y=27,-21x-7y=35$$

I-subtract ang -21x-7y=35 mula sa -21x-3y=27 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-21x+21x-3y+7y=27-35$$

Idagdag ang -21x sa 21x. Naka-cancel out ang term na -21x at 21x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-3y+7y=27-35$$

Idagdag ang -3y sa 7y.

$$4y=27-35$$

Idagdag ang 27 sa -35.

$$4y=-8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$y=-2$$

I-substitute ang -2 para sa y sa -3x-y=5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-3x-\left(-2\right)=5$$

I-subtract ang 2 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-3x=3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$x=-1$$

Nalutas na ang system.

$$x=-1,y=-2$$