Lutasin ang {l}{7x+8y=30}{8x-5y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 8 y = 30 } \\ { 8 x - 5 y = 6 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=2$$

$$y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$7x+8y=30,8x-5y=6$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$7x+8y=30$$

I-subtract ang 8y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$7x=-8y+30$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-8y+30\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{7} times -8y+30.

$$x=-\frac{8}{7}y+\frac{30}{7}$$

I-substitute ang \frac{-8y+30}{7} para sa x sa kabilang equation na 8x-5y=6.

$$8\left(-\frac{8}{7}y+\frac{30}{7}\right)-5y=6$$

I-multiply ang 8 times \frac{-8y+30}{7}.

$$-\frac{64}{7}y+\frac{240}{7}-5y=6$$

Idagdag ang -\frac{64y}{7} sa -5y.

$$-\frac{99}{7}y+\frac{240}{7}=6$$

I-subtract ang \frac{240}{7} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{99}{7}y=-\frac{198}{7}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{99}{7}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=2$$

I-substitute ang 2 para sa y sa x=-\frac{8}{7}y+\frac{30}{7}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{8}{7}\times 2+\frac{30}{7}$$

I-multiply ang -\frac{8}{7} times 2.

$$x=\frac{-16+30}{7}$$

Idagdag ang \frac{30}{7} sa -\frac{16}{7} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=2$$

Nalutas na ang system.

$$x=2,y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$7x+8y=30,8x-5y=6$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{7\left(-5\right)-8\times 8}&-\frac{8}{7\left(-5\right)-8\times 8}\\-\frac{8}{7\left(-5\right)-8\times 8}&\frac{7}{7\left(-5\right)-8\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{99}&\frac{8}{99}\\\frac{8}{99}&-\frac{7}{99}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{99}\times 30+\frac{8}{99}\times 6\\\frac{8}{99}\times 30-\frac{7}{99}\times 6\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=2,y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$7x+8y=30,8x-5y=6$$

Para gawing magkatumbas ang 7x at 8x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 8 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 7.

$$8\times 7x+8\times 8y=8\times 30,7\times 8x+7\left(-5\right)y=7\times 6$$

Pasimplehin.

$$56x+64y=240,56x-35y=42$$

I-subtract ang 56x-35y=42 mula sa 56x+64y=240 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$56x-56x+64y+35y=240-42$$

Idagdag ang 56x sa -56x. Naka-cancel out ang term na 56x at -56x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$64y+35y=240-42$$

Idagdag ang 64y sa 35y.

$$99y=240-42$$

Idagdag ang 240 sa -42.

$$99y=198$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 99.

$$y=2$$

I-substitute ang 2 para sa y sa 8x-5y=6. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$8x-5\times 2=6$$

I-multiply ang -5 times 2.

$$8x-10=6$$

Idagdag ang 10 sa magkabilang dulo ng equation.

$$8x=16$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$x=2$$

Nalutas na ang system.

$$x=2,y=2$$