Lutasin ang {l}{7x+8y=15}{9x+8y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 8 y = 15 } \\ { 9 x + 8 y = 1 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-7$$

$$y=8$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$7x+8y=15$$

I-subtract ang 8y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$7x=-8y+15$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-8y+15\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{7} times -8y+15.

$$x=-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7}$$

I-substitute ang \frac{-8y+15}{7} para sa x sa kabilang equation na 9x+8y=1.

$$9\left(-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7}\right)+8y=1$$

I-multiply ang 9 times \frac{-8y+15}{7}.

$$-\frac{72}{7}y+\frac{135}{7}+8y=1$$

Idagdag ang -\frac{72y}{7} sa 8y.

$$-\frac{16}{7}y+\frac{135}{7}=1$$

I-subtract ang \frac{135}{7} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{16}{7}y=-\frac{128}{7}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{16}{7}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=8$$

I-substitute ang 8 para sa y sa x=-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{8}{7}\times 8+\frac{15}{7}$$

I-multiply ang -\frac{8}{7} times 8.

$$x=\frac{-64+15}{7}$$

Idagdag ang \frac{15}{7} sa -\frac{64}{7} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-7$$

Nalutas na ang system.

$$x=-7,y=8$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{7\times 8-8\times 9}&-\frac{8}{7\times 8-8\times 9}\\-\frac{9}{7\times 8-8\times 9}&\frac{7}{7\times 8-8\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{9}{16}&-\frac{7}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 15+\frac{1}{2}\\\frac{9}{16}\times 15-\frac{7}{16}\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\8\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-7,y=8$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

I-subtract ang 9x+8y=1 mula sa 7x+8y=15 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$7x-9x+8y-8y=15-1$$

Idagdag ang 8y sa -8y. Naka-cancel out ang term na 8y at -8y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$7x-9x=15-1$$

Idagdag ang 7x sa -9x.

$$-2x=15-1$$

Idagdag ang 15 sa -1.

$$-2x=14$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$x=-7$$

I-substitute ang -7 para sa x sa 9x+8y=1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$9\left(-7\right)+8y=1$$

I-multiply ang 9 times -7.

$$-63+8y=1$$

Idagdag ang 63 sa magkabilang dulo ng equation.

$$8y=64$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$y=8$$

Nalutas na ang system.

$$x=-7,y=8$$