Lutasin ang {l}{7x+4y=52}{4x-4y=-8}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 4 y = 52 } \\ { 4 x - 4 y = - 8 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=4$$

$$y=6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$7x+4y=52,4x-4y=-8$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$7x+4y=52$$

I-subtract ang 4y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$7x=-4y+52$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-4y+52\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{7} times -4y+52.

$$x=-\frac{4}{7}y+\frac{52}{7}$$

I-substitute ang \frac{-4y+52}{7} para sa x sa kabilang equation na 4x-4y=-8.

$$4\left(-\frac{4}{7}y+\frac{52}{7}\right)-4y=-8$$

I-multiply ang 4 times \frac{-4y+52}{7}.

$$-\frac{16}{7}y+\frac{208}{7}-4y=-8$$

Idagdag ang -\frac{16y}{7} sa -4y.

$$-\frac{44}{7}y+\frac{208}{7}=-8$$

I-subtract ang \frac{208}{7} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{44}{7}y=-\frac{264}{7}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{44}{7}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=6$$

I-substitute ang 6 para sa y sa x=-\frac{4}{7}y+\frac{52}{7}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{4}{7}\times 6+\frac{52}{7}$$

I-multiply ang -\frac{4}{7} times 6.

$$x=\frac{-24+52}{7}$$

Idagdag ang \frac{52}{7} sa -\frac{24}{7} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=4$$

Nalutas na ang system.

$$x=4,y=6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$7x+4y=52,4x-4y=-8$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7\left(-4\right)-4\times 4}&-\frac{4}{7\left(-4\right)-4\times 4}\\-\frac{4}{7\left(-4\right)-4\times 4}&\frac{7}{7\left(-4\right)-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{7}{44}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 52+\frac{1}{11}\left(-8\right)\\\frac{1}{11}\times 52-\frac{7}{44}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=4,y=6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$7x+4y=52,4x-4y=-8$$

Para gawing magkatumbas ang 7x at 4x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 7.

$$4\times 7x+4\times 4y=4\times 52,7\times 4x+7\left(-4\right)y=7\left(-8\right)$$

Pasimplehin.

$$28x+16y=208,28x-28y=-56$$

I-subtract ang 28x-28y=-56 mula sa 28x+16y=208 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$28x-28x+16y+28y=208+56$$

Idagdag ang 28x sa -28x. Naka-cancel out ang term na 28x at -28x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$16y+28y=208+56$$

Idagdag ang 16y sa 28y.

$$44y=208+56$$

Idagdag ang 208 sa 56.

$$44y=264$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 44.

$$y=6$$

I-substitute ang 6 para sa y sa 4x-4y=-8. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$4x-4\times 6=-8$$

I-multiply ang -4 times 6.

$$4x-24=-8$$

Idagdag ang 24 sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=16$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=4$$

Nalutas na ang system.

$$x=4,y=6$$