Lutasin ang {l}{7w+2z=16}{5w=2z+8}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 w + 2 z = 16 } \\ { 5 w = 2 z + 8 } \end{array} \right.$$

I-solve ang w, z

$$z=1$$

$$w=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 2z mula sa magkabilang dulo.

$$5w-2z=8$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa w sa pamamagitan ng pag-isolate sa w sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$7w+2z=16$$

I-subtract ang 2z mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$7w=-2z+16$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$w=\frac{1}{7}\left(-2z+16\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{7} times -2z+16.

$$w=-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}$$

I-substitute ang \frac{-2z+16}{7} para sa w sa kabilang equation na 5w-2z=8.

$$5\left(-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}\right)-2z=8$$

I-multiply ang 5 times \frac{-2z+16}{7}.

$$-\frac{10}{7}z+\frac{80}{7}-2z=8$$

Idagdag ang -\frac{10z}{7} sa -2z.

$$-\frac{24}{7}z+\frac{80}{7}=8$$

I-subtract ang \frac{80}{7} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{24}{7}z=-\frac{24}{7}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{24}{7}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$z=1$$

I-substitute ang 1 para sa z sa w=-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang w nang direkta.

$$w=\frac{-2+16}{7}$$

Idagdag ang \frac{16}{7} sa -\frac{2}{7} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$w=2$$

Nalutas na ang system.

$$w=2,z=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 2z mula sa magkabilang dulo.

$$5w-2z=8$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-2\times 5}&-\frac{2}{7\left(-2\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{7\left(-2\right)-2\times 5}&\frac{7}{7\left(-2\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\\frac{5}{24}&-\frac{7}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{12}\times 8\\\frac{5}{24}\times 16-\frac{7}{24}\times 8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na w at z.

$$w=2,z=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 2z mula sa magkabilang dulo.

$$5w-2z=8$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

Para gawing magkatumbas ang 7w at 5w, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 5 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 7.

$$5\times 7w+5\times 2z=5\times 16,7\times 5w+7\left(-2\right)z=7\times 8$$

Pasimplehin.

$$35w+10z=80,35w-14z=56$$

I-subtract ang 35w-14z=56 mula sa 35w+10z=80 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$35w-35w+10z+14z=80-56$$

Idagdag ang 35w sa -35w. Naka-cancel out ang term na 35w at -35w ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$10z+14z=80-56$$

Idagdag ang 10z sa 14z.

$$24z=80-56$$

Idagdag ang 80 sa -56.

$$24z=24$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 24.

$$z=1$$

I-substitute ang 1 para sa z sa 5w-2z=8. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang w nang direkta.

$$5w-2=8$$

Idagdag ang 2 sa magkabilang dulo ng equation.

$$5w=10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$w=2$$

Nalutas na ang system.

$$w=2,z=1$$