Lutasin ang {l}{6.5x+y=9}{1.6x+0.2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 6.5 x + y = 9 } \\ { 1.6 x + 0.2 y = 13 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{112}{3} = 37\frac{1}{3} \approx 37.333333333$$

$$y = -\frac{701}{3} = -233\frac{2}{3} \approx -233.666666667$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$6.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$6.5x+y=9$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$6.5x=-y+9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.5, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=\frac{2}{13}\left(-y+9\right)$$

I-multiply ang \frac{2}{13} times -y+9.

$$x=-\frac{2}{13}y+\frac{18}{13}$$

I-substitute ang \frac{-2y+18}{13} para sa x sa kabilang equation na 1.6x+0.2y=13.

$$1.6\left(-\frac{2}{13}y+\frac{18}{13}\right)+0.2y=13$$

I-multiply ang 1.6 times \frac{-2y+18}{13}.

$$-\frac{16}{65}y+\frac{144}{65}+0.2y=13$$

Idagdag ang -\frac{16y}{65} sa \frac{y}{5}.

$$-\frac{3}{65}y+\frac{144}{65}=13$$

I-subtract ang \frac{144}{65} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{3}{65}y=\frac{701}{65}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{3}{65}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-\frac{701}{3}$$

I-substitute ang -\frac{701}{3} para sa y sa x=-\frac{2}{13}y+\frac{18}{13}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{2}{13}\left(-\frac{701}{3}\right)+\frac{18}{13}$$

I-multiply ang -\frac{2}{13} times -\frac{701}{3} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{1402}{39}+\frac{18}{13}$$

Idagdag ang \frac{18}{13} sa \frac{1402}{39} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{112}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{112}{3},y=-\frac{701}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$6.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{6.5\times 0.2-1.6}&-\frac{1}{6.5\times 0.2-1.6}\\-\frac{1.6}{6.5\times 0.2-1.6}&\frac{6.5}{6.5\times 0.2-1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{10}{3}\\\frac{16}{3}&-\frac{65}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 9+\frac{10}{3}\times 13\\\frac{16}{3}\times 9-\frac{65}{3}\times 13\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{112}{3}\\-\frac{701}{3}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{112}{3},y=-\frac{701}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$6.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Para gawing magkatumbas ang \frac{13x}{2} at \frac{8x}{5}, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1.6 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 6.5.

$$1.6\times 6.5x+1.6y=1.6\times 9,6.5\times 1.6x+6.5\times 0.2y=6.5\times 13$$

Pasimplehin.

$$10.4x+1.6y=14.4,10.4x+1.3y=84.5$$

I-subtract ang 10.4x+1.3y=84.5 mula sa 10.4x+1.6y=14.4 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$10.4x-10.4x+1.6y-1.3y=14.4-84.5$$

Idagdag ang \frac{52x}{5} sa -\frac{52x}{5}. Naka-cancel out ang term na \frac{52x}{5} at -\frac{52x}{5} ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$1.6y-1.3y=14.4-84.5$$

Idagdag ang \frac{8y}{5} sa -\frac{13y}{10}.

$$0.3y=14.4-84.5$$

Idagdag ang 14.4 sa -84.5 sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$0.3y=-70.1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 0.3, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-\frac{701}{3}$$

I-substitute ang -\frac{701}{3} para sa y sa 1.6x+0.2y=13. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$1.6x+0.2\left(-\frac{701}{3}\right)=13$$

I-multiply ang 0.2 times -\frac{701}{3} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$1.6x-\frac{701}{15}=13$$

Idagdag ang \frac{701}{15} sa magkabilang dulo ng equation.

$$1.6x=\frac{896}{15}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 1.6, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=\frac{112}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{112}{3},y=-\frac{701}{3}$$