Lutasin ang {l}{6y+4x=27}{x+y=50}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 y + 4 x = 27 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x = \frac{273}{2} = 136\frac{1}{2} = 136.5$$

$$y = -\frac{173}{2} = -86\frac{1}{2} = -86.5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$6y+4x=27,y+x=50$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$6y+4x=27$$

I-subtract ang 4x mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$6y=-4x+27$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$y=\frac{1}{6}\left(-4x+27\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{6} times -4x+27.

$$y=-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2}$$

I-substitute ang -\frac{2x}{3}+\frac{9}{2} para sa y sa kabilang equation na y+x=50.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2}+x=50$$

Idagdag ang -\frac{2x}{3} sa x.

$$\frac{1}{3}x+\frac{9}{2}=50$$

I-subtract ang \frac{9}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{1}{3}x=\frac{91}{2}$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{273}{2}$$

I-substitute ang \frac{273}{2} para sa x sa y=-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=-\frac{2}{3}\times \frac{273}{2}+\frac{9}{2}$$

I-multiply ang -\frac{2}{3} times \frac{273}{2} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$y=-91+\frac{9}{2}$$

Idagdag ang \frac{9}{2} sa -91.

$$y=-\frac{173}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$6y+4x=27,y+x=50$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-4}&-\frac{4}{6-4}\\-\frac{1}{6-4}&\frac{6}{6-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-2\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 27-2\times 50\\-\frac{1}{2}\times 27+3\times 50\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{173}{2}\\\frac{273}{2}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$6y+4x=27,y+x=50$$

Para gawing magkatumbas ang 6y at y, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 6.

$$6y+4x=27,6y+6x=6\times 50$$

Pasimplehin.

$$6y+4x=27,6y+6x=300$$

I-subtract ang 6y+6x=300 mula sa 6y+4x=27 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6y-6y+4x-6x=27-300$$

Idagdag ang 6y sa -6y. Naka-cancel out ang term na 6y at -6y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$4x-6x=27-300$$

Idagdag ang 4x sa -6x.

$$-2x=27-300$$

Idagdag ang 27 sa -300.

$$-2x=-273$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$x=\frac{273}{2}$$

I-substitute ang \frac{273}{2} para sa x sa y+x=50. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y+\frac{273}{2}=50$$

I-subtract ang \frac{273}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=-\frac{173}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$