Lutasin ang {l}{6x+5y=74}{-7x+2y=-8}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 5 y = 74 } \\ { - 7 x + 2 y = - 8 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=4$$

$$y=10$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$6x+5y=74,-7x+2y=-8$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$6x+5y=74$$

I-subtract ang 5y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x=-5y+74$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+74\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{6} times -5y+74.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{37}{3}$$

I-substitute ang -\frac{5y}{6}+\frac{37}{3} para sa x sa kabilang equation na -7x+2y=-8.

$$-7\left(-\frac{5}{6}y+\frac{37}{3}\right)+2y=-8$$

I-multiply ang -7 times -\frac{5y}{6}+\frac{37}{3}.

$$\frac{35}{6}y-\frac{259}{3}+2y=-8$$

Idagdag ang \frac{35y}{6} sa 2y.

$$\frac{47}{6}y-\frac{259}{3}=-8$$

Idagdag ang \frac{259}{3} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{47}{6}y=\frac{235}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{47}{6}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=10$$

I-substitute ang 10 para sa y sa x=-\frac{5}{6}y+\frac{37}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{5}{6}\times 10+\frac{37}{3}$$

I-multiply ang -\frac{5}{6} times 10.

$$x=\frac{-25+37}{3}$$

Idagdag ang \frac{37}{3} sa -\frac{25}{3} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=4$$

Nalutas na ang system.

$$x=4,y=10$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$6x+5y=74,-7x+2y=-8$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}6&5\\-7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}74\\-8\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}6&5\\-7&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\-7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\-8\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\-8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\-8\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{6\times 2-5\left(-7\right)}&-\frac{5}{6\times 2-5\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{6\times 2-5\left(-7\right)}&\frac{6}{6\times 2-5\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}74\\-8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{47}&-\frac{5}{47}\\\frac{7}{47}&\frac{6}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}74\\-8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{47}\times 74-\frac{5}{47}\left(-8\right)\\\frac{7}{47}\times 74+\frac{6}{47}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=4,y=10$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$6x+5y=74,-7x+2y=-8$$

Para gawing magkatumbas ang 6x at -7x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -7 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 6.

$$-7\times 6x-7\times 5y=-7\times 74,6\left(-7\right)x+6\times 2y=6\left(-8\right)$$

Pasimplehin.

$$-42x-35y=-518,-42x+12y=-48$$

I-subtract ang -42x+12y=-48 mula sa -42x-35y=-518 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-42x+42x-35y-12y=-518+48$$

Idagdag ang -42x sa 42x. Naka-cancel out ang term na -42x at 42x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-35y-12y=-518+48$$

Idagdag ang -35y sa -12y.

$$-47y=-518+48$$

Idagdag ang -518 sa 48.

$$-47y=-470$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -47.

$$y=10$$

I-substitute ang 10 para sa y sa -7x+2y=-8. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-7x+2\times 10=-8$$

I-multiply ang 2 times 10.

$$-7x+20=-8$$

I-subtract ang 20 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-7x=-28$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -7.

$$x=4$$

Nalutas na ang system.

$$x=4,y=10$$