Lutasin ang {l}{6x+2y=20}{-4x+y=-11}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 2 y = 20 } \\ { - 4 x + y = - 11 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$6x+2y=20,-4x+y=-11$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$6x+2y=20$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x=-2y+20$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y+20\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{6} times -2y+20.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}$$

I-substitute ang \frac{-y+10}{3} para sa x sa kabilang equation na -4x+y=-11.

$$-4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}\right)+y=-11$$

I-multiply ang -4 times \frac{-y+10}{3}.

$$\frac{4}{3}y-\frac{40}{3}+y=-11$$

Idagdag ang \frac{4y}{3} sa y.

$$\frac{7}{3}y-\frac{40}{3}=-11$$

Idagdag ang \frac{40}{3} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{7}{3}y=\frac{7}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{7}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=1$$

I-substitute ang 1 para sa y sa x=-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{-1+10}{3}$$

Idagdag ang \frac{10}{3} sa -\frac{1}{3} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$6x+2y=20,-4x+y=-11$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{6-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{6-2\left(-4\right)}&\frac{6}{6-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&-\frac{1}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 20-\frac{1}{7}\left(-11\right)\\\frac{2}{7}\times 20+\frac{3}{7}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=3,y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$6x+2y=20,-4x+y=-11$$

Para gawing magkatumbas ang 6x at -4x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 6.

$$-4\times 6x-4\times 2y=-4\times 20,6\left(-4\right)x+6y=6\left(-11\right)$$

Pasimplehin.

$$-24x-8y=-80,-24x+6y=-66$$

I-subtract ang -24x+6y=-66 mula sa -24x-8y=-80 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-24x+24x-8y-6y=-80+66$$

Idagdag ang -24x sa 24x. Naka-cancel out ang term na -24x at 24x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-8y-6y=-80+66$$

Idagdag ang -8y sa -6y.

$$-14y=-80+66$$

Idagdag ang -80 sa 66.

$$-14y=-14$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -14.

$$y=1$$

I-substitute ang 1 para sa y sa -4x+y=-11. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-4x+1=-11$$

I-subtract ang 1 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-4x=-12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=1$$