Lutasin ang {l}{6m-5n=-9}{4m+3n=13(5)}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 m - 5 n = - 9 } \\ { 4 m + 3 n = 13 ( 5 ) } \end{array} \right.$$

I-solve ang m, n

$$m = \frac{149}{19} = 7\frac{16}{19} \approx 7.842105263$$

$$n = \frac{213}{19} = 11\frac{4}{19} \approx 11.210526316$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa m sa pamamagitan ng pag-isolate sa m sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$6m-5n=-9$$

Idagdag ang 5n sa magkabilang dulo ng equation.

$$6m=5n-9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$m=\frac{1}{6}\left(5n-9\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{6} times 5n-9.

$$m=\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}$$

I-substitute ang \frac{5n}{6}-\frac{3}{2} para sa m sa kabilang equation na 4m+3n=65.

$$4\left(\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}\right)+3n=65$$

I-multiply ang 4 times \frac{5n}{6}-\frac{3}{2}.

$$\frac{10}{3}n-6+3n=65$$

Idagdag ang \frac{10n}{3} sa 3n.

$$\frac{19}{3}n-6=65$$

Idagdag ang 6 sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{19}{3}n=71$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{19}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$n=\frac{213}{19}$$

I-substitute ang \frac{213}{19} para sa n sa m=\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang m nang direkta.

$$m=\frac{5}{6}\times \frac{213}{19}-\frac{3}{2}$$

I-multiply ang \frac{5}{6} times \frac{213}{19} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$m=\frac{355}{38}-\frac{3}{2}$$

Idagdag ang -\frac{3}{2} sa \frac{355}{38} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$m=\frac{149}{19}$$

Nalutas na ang system.

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}&\frac{6}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}&\frac{5}{38}\\-\frac{2}{19}&\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}\left(-9\right)+\frac{5}{38}\times 65\\-\frac{2}{19}\left(-9\right)+\frac{3}{19}\times 65\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{149}{19}\\\frac{213}{19}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na m at n.

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

Para gawing magkatumbas ang 6m at 4m, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 6.

$$4\times 6m+4\left(-5\right)n=4\left(-9\right),6\times 4m+6\times 3n=6\times 65$$

Pasimplehin.

$$24m-20n=-36,24m+18n=390$$

I-subtract ang 24m+18n=390 mula sa 24m-20n=-36 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$24m-24m-20n-18n=-36-390$$

Idagdag ang 24m sa -24m. Naka-cancel out ang term na 24m at -24m ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-20n-18n=-36-390$$

Idagdag ang -20n sa -18n.

$$-38n=-36-390$$

Idagdag ang -36 sa -390.

$$-38n=-426$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -38.

$$n=\frac{213}{19}$$

I-substitute ang \frac{213}{19} para sa n sa 4m+3n=65. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang m nang direkta.

$$4m+3\times \frac{213}{19}=65$$

I-multiply ang 3 times \frac{213}{19}.

$$4m+\frac{639}{19}=65$$

I-subtract ang \frac{639}{19} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4m=\frac{596}{19}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$m=\frac{149}{19}$$

Nalutas na ang system.

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$