Lutasin ang {l}{5x-y=8}{10x+3y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - y = 8 } \\ { 10 x + 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1.2$$

$$y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x-y=8,10x+3y=6$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x-y=8$$

Idagdag ang y sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=y+8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+8\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times y+8.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}$$

I-substitute ang \frac{8+y}{5} para sa x sa kabilang equation na 10x+3y=6.

$$10\left(\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}\right)+3y=6$$

I-multiply ang 10 times \frac{8+y}{5}.

$$2y+16+3y=6$$

Idagdag ang 2y sa 3y.

$$5y+16=6$$

I-subtract ang 16 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5y=-10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$y=-2$$

I-substitute ang -2 para sa y sa x=\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2\right)+\frac{8}{5}$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times -2.

$$x=\frac{-2+8}{5}$$

Idagdag ang \frac{8}{5} sa -\frac{2}{5} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{6}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{6}{5},y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x-y=8,10x+3y=6$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-10\right)}&-\frac{-1}{5\times 3-\left(-10\right)}\\-\frac{10}{5\times 3-\left(-10\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}&\frac{1}{25}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\times 8+\frac{1}{25}\times 6\\-\frac{2}{5}\times 8+\frac{1}{5}\times 6\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\-2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{6}{5},y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x-y=8,10x+3y=6$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at 10x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 10 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$10\times 5x+10\left(-1\right)y=10\times 8,5\times 10x+5\times 3y=5\times 6$$

Pasimplehin.

$$50x-10y=80,50x+15y=30$$

I-subtract ang 50x+15y=30 mula sa 50x-10y=80 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$50x-50x-10y-15y=80-30$$

Idagdag ang 50x sa -50x. Naka-cancel out ang term na 50x at -50x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-10y-15y=80-30$$

Idagdag ang -10y sa -15y.

$$-25y=80-30$$

Idagdag ang 80 sa -30.

$$-25y=50$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -25.

$$y=-2$$

I-substitute ang -2 para sa y sa 10x+3y=6. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$10x+3\left(-2\right)=6$$

I-multiply ang 3 times -2.

$$10x-6=6$$

Idagdag ang 6 sa magkabilang dulo ng equation.

$$10x=12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 10.

$$x=\frac{6}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{6}{5},y=-2$$