Lutasin ang {l}{5x-y=6}{3x-4y=-10}quad{l}{x-3}{y=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - y = 6 } \\ { 3 x - 4 y = - 10 } \end{array} \right. \quad \left\{ \begin{array} { l } { x - 3 } \\ { y = - 2 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=2$$

$$y=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x-y=6,3x-4y=-10$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x-y=6$$

Idagdag ang y sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=y+6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+6\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times y+6.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{6}{5}$$

I-substitute ang \frac{6+y}{5} para sa x sa kabilang equation na 3x-4y=-10.

$$3\left(\frac{1}{5}y+\frac{6}{5}\right)-4y=-10$$

I-multiply ang 3 times \frac{6+y}{5}.

$$\frac{3}{5}y+\frac{18}{5}-4y=-10$$

Idagdag ang \frac{3y}{5} sa -4y.

$$-\frac{17}{5}y+\frac{18}{5}=-10$$

I-subtract ang \frac{18}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{17}{5}y=-\frac{68}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{17}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=4$$

I-substitute ang 4 para sa y sa x=\frac{1}{5}y+\frac{6}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{1}{5}\times 4+\frac{6}{5}$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times 4.

$$x=\frac{4+6}{5}$$

Idagdag ang \frac{6}{5} sa \frac{4}{5} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=2$$

Nalutas na ang system.

$$x=2,y=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x-y=6,3x-4y=-10$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-10\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&-1\\3&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-10\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-10\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-10\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{5\left(-4\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{5\left(-4\right)-\left(-3\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-10\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}&-\frac{1}{17}\\\frac{3}{17}&-\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-10\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}\times 6-\frac{1}{17}\left(-10\right)\\\frac{3}{17}\times 6-\frac{5}{17}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=2,y=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x-y=6,3x-4y=-10$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$3\times 5x+3\left(-1\right)y=3\times 6,5\times 3x+5\left(-4\right)y=5\left(-10\right)$$

Pasimplehin.

$$15x-3y=18,15x-20y=-50$$

I-subtract ang 15x-20y=-50 mula sa 15x-3y=18 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$15x-15x-3y+20y=18+50$$

Idagdag ang 15x sa -15x. Naka-cancel out ang term na 15x at -15x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-3y+20y=18+50$$

Idagdag ang -3y sa 20y.

$$17y=18+50$$

Idagdag ang 18 sa 50.

$$17y=68$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 17.

$$y=4$$

I-substitute ang 4 para sa y sa 3x-4y=-10. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x-4\times 4=-10$$

I-multiply ang -4 times 4.

$$3x-16=-10$$

Idagdag ang 16 sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=2$$

Nalutas na ang system.

$$x=2,y=4$$