Lutasin ang {l}{5x-y=3}{-2x+4y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - y = 3 } \\ { - 2 x + 4 y = 12 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y = \frac{11}{3} = 3\frac{2}{3} \approx 3.666666667$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x-y=3,-2x+4y=12$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x-y=3$$

Idagdag ang y sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=y+3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+3\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times y+3.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}$$

I-substitute ang \frac{3+y}{5} para sa x sa kabilang equation na -2x+4y=12.

$$-2\left(\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}\right)+4y=12$$

I-multiply ang -2 times \frac{3+y}{5}.

$$-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}+4y=12$$

Idagdag ang -\frac{2y}{5} sa 4y.

$$\frac{18}{5}y-\frac{6}{5}=12$$

Idagdag ang \frac{6}{5} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{18}{5}y=\frac{66}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{18}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{11}{3}$$

I-substitute ang \frac{11}{3} para sa y sa x=\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{1}{5}\times \frac{11}{3}+\frac{3}{5}$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times \frac{11}{3} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{11}{15}+\frac{3}{5}$$

Idagdag ang \frac{3}{5} sa \frac{11}{15} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{4}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{11}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x-y=3,-2x+4y=12$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{18}\\\frac{1}{9}&\frac{5}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 3+\frac{1}{18}\times 12\\\frac{1}{9}\times 3+\frac{5}{18}\times 12\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{11}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x-y=3,-2x+4y=12$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at -2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$-2\times 5x-2\left(-1\right)y=-2\times 3,5\left(-2\right)x+5\times 4y=5\times 12$$

Pasimplehin.

$$-10x+2y=-6,-10x+20y=60$$

I-subtract ang -10x+20y=60 mula sa -10x+2y=-6 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-10x+10x+2y-20y=-6-60$$

Idagdag ang -10x sa 10x. Naka-cancel out ang term na -10x at 10x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$2y-20y=-6-60$$

Idagdag ang 2y sa -20y.

$$-18y=-6-60$$

Idagdag ang -6 sa -60.

$$-18y=-66$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -18.

$$y=\frac{11}{3}$$

I-substitute ang \frac{11}{3} para sa y sa -2x+4y=12. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-2x+4\times \frac{11}{3}=12$$

I-multiply ang 4 times \frac{11}{3}.

$$-2x+\frac{44}{3}=12$$

I-subtract ang \frac{44}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-2x=-\frac{8}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$x=\frac{4}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{11}{3}$$