Lutasin ang {l}{5x-8=y}{3x+2y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 8 = y } \\ { 3 x + 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{18}{13} = 1\frac{5}{13} \approx 1.384615385$$

$$y = -\frac{14}{13} = -1\frac{1}{13} \approx -1.076923077$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$5x-8-y=0$$

Idagdag ang 8 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$5x-y=8$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x-y=8,3x+2y=2$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x-y=8$$

Idagdag ang y sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=y+8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+8\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times y+8.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}$$

I-substitute ang \frac{8+y}{5} para sa x sa kabilang equation na 3x+2y=2.

$$3\left(\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}\right)+2y=2$$

I-multiply ang 3 times \frac{8+y}{5}.

$$\frac{3}{5}y+\frac{24}{5}+2y=2$$

Idagdag ang \frac{3y}{5} sa 2y.

$$\frac{13}{5}y+\frac{24}{5}=2$$

I-subtract ang \frac{24}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{13}{5}y=-\frac{14}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{13}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-\frac{14}{13}$$

I-substitute ang -\frac{14}{13} para sa y sa x=\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{1}{5}\left(-\frac{14}{13}\right)+\frac{8}{5}$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times -\frac{14}{13} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{14}{65}+\frac{8}{5}$$

Idagdag ang \frac{8}{5} sa -\frac{14}{65} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{18}{13}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{18}{13},y=-\frac{14}{13}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$5x-8-y=0$$

Idagdag ang 8 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$5x-y=8$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x-y=8,3x+2y=2$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{5\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 8+\frac{1}{13}\times 2\\-\frac{3}{13}\times 8+\frac{5}{13}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{13}\\-\frac{14}{13}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{18}{13},y=-\frac{14}{13}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$5x-8-y=0$$

Idagdag ang 8 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$5x-y=8$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x-y=8,3x+2y=2$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$3\times 5x+3\left(-1\right)y=3\times 8,5\times 3x+5\times 2y=5\times 2$$

Pasimplehin.

$$15x-3y=24,15x+10y=10$$

I-subtract ang 15x+10y=10 mula sa 15x-3y=24 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$15x-15x-3y-10y=24-10$$

Idagdag ang 15x sa -15x. Naka-cancel out ang term na 15x at -15x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-3y-10y=24-10$$

Idagdag ang -3y sa -10y.

$$-13y=24-10$$

Idagdag ang 24 sa -10.

$$-13y=14$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -13.

$$y=-\frac{14}{13}$$

I-substitute ang -\frac{14}{13} para sa y sa 3x+2y=2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x+2\left(-\frac{14}{13}\right)=2$$

I-multiply ang 2 times -\frac{14}{13}.

$$3x-\frac{28}{13}=2$$

Idagdag ang \frac{28}{13} sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=\frac{54}{13}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{18}{13}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{18}{13},y=-\frac{14}{13}$$