Lutasin ang {l}{5x-7y=-27}{2x+3y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 7 y = - 27 } \\ { 2 x + 3 y = 24 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=3$$

$$y=6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x-7y=-27,2x+3y=24$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x-7y=-27$$

Idagdag ang 7y sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=7y-27$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(7y-27\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times 7y-27.

$$x=\frac{7}{5}y-\frac{27}{5}$$

I-substitute ang \frac{7y-27}{5} para sa x sa kabilang equation na 2x+3y=24.

$$2\left(\frac{7}{5}y-\frac{27}{5}\right)+3y=24$$

I-multiply ang 2 times \frac{7y-27}{5}.

$$\frac{14}{5}y-\frac{54}{5}+3y=24$$

Idagdag ang \frac{14y}{5} sa 3y.

$$\frac{29}{5}y-\frac{54}{5}=24$$

Idagdag ang \frac{54}{5} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{29}{5}y=\frac{174}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{29}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=6$$

I-substitute ang 6 para sa y sa x=\frac{7}{5}y-\frac{27}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{7}{5}\times 6-\frac{27}{5}$$

I-multiply ang \frac{7}{5} times 6.

$$x=\frac{42-27}{5}$$

Idagdag ang -\frac{27}{5} sa \frac{42}{5} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x-7y=-27,2x+3y=24$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{5\times 3-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{5\times 3-\left(-7\times 2\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{29}&\frac{7}{29}\\-\frac{2}{29}&\frac{5}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{29}\left(-27\right)+\frac{7}{29}\times 24\\-\frac{2}{29}\left(-27\right)+\frac{5}{29}\times 24\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=3,y=6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x-7y=-27,2x+3y=24$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$2\times 5x+2\left(-7\right)y=2\left(-27\right),5\times 2x+5\times 3y=5\times 24$$

Pasimplehin.

$$10x-14y=-54,10x+15y=120$$

I-subtract ang 10x+15y=120 mula sa 10x-14y=-54 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$10x-10x-14y-15y=-54-120$$

Idagdag ang 10x sa -10x. Naka-cancel out ang term na 10x at -10x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-14y-15y=-54-120$$

Idagdag ang -14y sa -15y.

$$-29y=-54-120$$

Idagdag ang -54 sa -120.

$$-29y=-174$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -29.

$$y=6$$

I-substitute ang 6 para sa y sa 2x+3y=24. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x+3\times 6=24$$

I-multiply ang 3 times 6.

$$2x+18=24$$

I-subtract ang 18 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=6$$