Lutasin ang {l}{5x-6y=10}{2x+7y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 6 y = 10 } \\ { 2 x + 7 y = 3 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{88}{47} = 1\frac{41}{47} \approx 1.872340426$$

$$y=-\frac{5}{47}\approx -0.106382979$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x-6y=10,2x+7y=3$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x-6y=10$$

Idagdag ang 6y sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=6y+10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(6y+10\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times 6y+10.

$$x=\frac{6}{5}y+2$$

I-substitute ang \frac{6y}{5}+2 para sa x sa kabilang equation na 2x+7y=3.

$$2\left(\frac{6}{5}y+2\right)+7y=3$$

I-multiply ang 2 times \frac{6y}{5}+2.

$$\frac{12}{5}y+4+7y=3$$

Idagdag ang \frac{12y}{5} sa 7y.

$$\frac{47}{5}y+4=3$$

I-subtract ang 4 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{47}{5}y=-1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{47}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-\frac{5}{47}$$

I-substitute ang -\frac{5}{47} para sa y sa x=\frac{6}{5}y+2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{6}{5}\left(-\frac{5}{47}\right)+2$$

I-multiply ang \frac{6}{5} times -\frac{5}{47} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{6}{47}+2$$

Idagdag ang 2 sa -\frac{6}{47}.

$$x=\frac{88}{47}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{88}{47},y=-\frac{5}{47}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x-6y=10,2x+7y=3$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}&-\frac{-6}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}\\-\frac{2}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}&\frac{6}{47}\\-\frac{2}{47}&\frac{5}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}\times 10+\frac{6}{47}\times 3\\-\frac{2}{47}\times 10+\frac{5}{47}\times 3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{88}{47}\\-\frac{5}{47}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{88}{47},y=-\frac{5}{47}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x-6y=10,2x+7y=3$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$2\times 5x+2\left(-6\right)y=2\times 10,5\times 2x+5\times 7y=5\times 3$$

Pasimplehin.

$$10x-12y=20,10x+35y=15$$

I-subtract ang 10x+35y=15 mula sa 10x-12y=20 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$10x-10x-12y-35y=20-15$$

Idagdag ang 10x sa -10x. Naka-cancel out ang term na 10x at -10x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-12y-35y=20-15$$

Idagdag ang -12y sa -35y.

$$-47y=20-15$$

Idagdag ang 20 sa -15.

$$-47y=5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -47.

$$y=-\frac{5}{47}$$

I-substitute ang -\frac{5}{47} para sa y sa 2x+7y=3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x+7\left(-\frac{5}{47}\right)=3$$

I-multiply ang 7 times -\frac{5}{47}.

$$2x-\frac{35}{47}=3$$

Idagdag ang \frac{35}{47} sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=\frac{176}{47}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{88}{47}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{88}{47},y=-\frac{5}{47}$$