Lutasin ang {l}{5x-3y-4=34}{5y-3x-18=34}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y - 4 = 34 } \\ { 5 y - 3 x - 18 = 34 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{173}{8} = 21\frac{5}{8} = 21.625$$

$$y = \frac{187}{8} = 23\frac{3}{8} = 23.375$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x-3y-4=34$$

Idagdag ang 4 sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x-3y=38$$

Idagdag ang 3y sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=3y+38$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+38\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times 3y+38.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}$$

I-substitute ang \frac{3y+38}{5} para sa x sa kabilang equation na -3x+5y-18=34.

$$-3\left(\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}\right)+5y-18=34$$

I-multiply ang -3 times \frac{3y+38}{5}.

$$-\frac{9}{5}y-\frac{114}{5}+5y-18=34$$

Idagdag ang -\frac{9y}{5} sa 5y.

$$\frac{16}{5}y-\frac{114}{5}-18=34$$

Idagdag ang -\frac{114}{5} sa -18.

$$\frac{16}{5}y-\frac{204}{5}=34$$

Idagdag ang \frac{204}{5} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{16}{5}y=\frac{374}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{16}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{187}{8}$$

I-substitute ang \frac{187}{8} para sa y sa x=\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{3}{5}\times \frac{187}{8}+\frac{38}{5}$$

I-multiply ang \frac{3}{5} times \frac{187}{8} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{561}{40}+\frac{38}{5}$$

Idagdag ang \frac{38}{5} sa \frac{561}{40} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{173}{8}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}&-\frac{-3}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{3}{16}\\\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 38+\frac{3}{16}\times 52\\\frac{3}{16}\times 38+\frac{5}{16}\times 52\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{173}{8}\\\frac{187}{8}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at -3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$-3\times 5x-3\left(-3\right)y-3\left(-4\right)=-3\times 34,5\left(-3\right)x+5\times 5y+5\left(-18\right)=5\times 34$$

Pasimplehin.

$$-15x+9y+12=-102,-15x+25y-90=170$$

I-subtract ang -15x+25y-90=170 mula sa -15x+9y+12=-102 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-15x+15x+9y-25y+12+90=-102-170$$

Idagdag ang -15x sa 15x. Naka-cancel out ang term na -15x at 15x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$9y-25y+12+90=-102-170$$

Idagdag ang 9y sa -25y.

$$-16y+12+90=-102-170$$

Idagdag ang 12 sa 90.

$$-16y+102=-102-170$$

Idagdag ang -102 sa -170.

$$-16y+102=-272$$

I-subtract ang 102 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-16y=-374$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -16.

$$y=\frac{187}{8}$$

I-substitute ang \frac{187}{8} para sa y sa -3x+5y-18=34. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-3x+5\times \frac{187}{8}-18=34$$

I-multiply ang 5 times \frac{187}{8}.

$$-3x+\frac{935}{8}-18=34$$

Idagdag ang \frac{935}{8} sa -18.

$$-3x+\frac{791}{8}=34$$

I-subtract ang \frac{791}{8} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-3x=-\frac{519}{8}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$x=\frac{173}{8}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$