Lutasin ang {l}{5x-3y=10}{6y=kx-42}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 10 } \\ { 6 y = k x - 42 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=\frac{22}{k-10}$$

$$y=-\frac{10\left(k-21\right)}{3\left(k-10\right)}$$

$$k\neq 10$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang kx mula sa magkabilang dulo.

$$6y-kx=-42$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x-3y=10,\left(-k\right)x+6y=-42$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x-3y=10$$

Idagdag ang 3y sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=3y+10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+10\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times 3y+10.

$$x=\frac{3}{5}y+2$$

I-substitute ang \frac{3y}{5}+2 para sa x sa kabilang equation na \left(-k\right)x+6y=-42.

$$\left(-k\right)\left(\frac{3}{5}y+2\right)+6y=-42$$

I-multiply ang -k times \frac{3y}{5}+2.

$$\left(-\frac{3k}{5}\right)y-2k+6y=-42$$

Idagdag ang -\frac{3ky}{5} sa 6y.

$$\left(-\frac{3k}{5}+6\right)y-2k=-42$$

Idagdag ang 2k sa magkabilang dulo ng equation.

$$\left(-\frac{3k}{5}+6\right)y=2k-42$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{3k}{5}+6.

$$y=\frac{10\left(k-21\right)}{3\left(10-k\right)}$$

I-substitute ang \frac{10\left(-21+k\right)}{3\left(-k+10\right)} para sa y sa x=\frac{3}{5}y+2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{3}{5}\times \frac{10\left(k-21\right)}{3\left(10-k\right)}+2$$

I-multiply ang \frac{3}{5} times \frac{10\left(-21+k\right)}{3\left(-k+10\right)}.

$$x=\frac{2\left(k-21\right)}{10-k}+2$$

Idagdag ang 2 sa \frac{2\left(-21+k\right)}{-k+10}.

$$x=-\frac{22}{10-k}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{22}{10-k},y=\frac{10\left(k-21\right)}{3\left(10-k\right)}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang kx mula sa magkabilang dulo.

$$6y-kx=-42$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x-3y=10,\left(-k\right)x+6y=-42$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-42\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-42\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-42\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-42\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5\times 6-\left(-3\left(-k\right)\right)}&-\frac{-3}{5\times 6-\left(-3\left(-k\right)\right)}\\-\frac{-k}{5\times 6-\left(-3\left(-k\right)\right)}&\frac{5}{5\times 6-\left(-3\left(-k\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-42\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{10-k}&\frac{1}{10-k}\\\frac{k}{3\left(10-k\right)}&\frac{5}{3\left(10-k\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-42\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{10-k}\times 10+\frac{1}{10-k}\left(-42\right)\\\frac{k}{3\left(10-k\right)}\times 10+\frac{5}{3\left(10-k\right)}\left(-42\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22}{10-k}\\-\frac{10\left(21-k\right)}{3\left(10-k\right)}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{22}{10-k},y=-\frac{10\left(21-k\right)}{3\left(10-k\right)}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang kx mula sa magkabilang dulo.

$$6y-kx=-42$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x-3y=10,\left(-k\right)x+6y=-42$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at -kx, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -k at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$\left(-k\right)\times 5x+\left(-k\right)\left(-3\right)y=\left(-k\right)\times 10,5\left(-k\right)x+5\times 6y=5\left(-42\right)$$

Pasimplehin.

$$\left(-5k\right)x+3ky=-10k,\left(-5k\right)x+30y=-210$$

I-subtract ang \left(-5k\right)x+30y=-210 mula sa \left(-5k\right)x+3ky=-10k sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$\left(-5k\right)x+5kx+3ky-30y=-10k+210$$

Idagdag ang -5kx sa 5kx. Naka-cancel out ang term na -5kx at 5kx ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$3ky-30y=-10k+210$$

Idagdag ang 3ky sa -30y.

$$\left(3k-30\right)y=-10k+210$$

Idagdag ang -10k sa 210.

$$\left(3k-30\right)y=210-10k$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -30+3k.

$$y=\frac{10\left(21-k\right)}{3\left(k-10\right)}$$

I-substitute ang \frac{10\left(21-k\right)}{3\left(-10+k\right)} para sa y sa \left(-k\right)x+6y=-42. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$\left(-k\right)x+6\times \frac{10\left(21-k\right)}{3\left(k-10\right)}=-42$$

I-multiply ang 6 times \frac{10\left(21-k\right)}{3\left(-10+k\right)}.

$$\left(-k\right)x+\frac{20\left(21-k\right)}{k-10}=-42$$

I-subtract ang \frac{20\left(21-k\right)}{-10+k} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\left(-k\right)x=-\frac{22k}{k-10}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -k.

$$x=\frac{22}{k-10}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{22}{k-10},y=\frac{10\left(21-k\right)}{3\left(k-10\right)}$$