Lutasin ang {l}{5x-14=3y}{7(3x-2y)=35}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 14 = 3 y } \\ { 7 ( 3 x - 2 y ) = 35 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=13$$

$$y=17$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo.

$$5x-14-3y=0$$

Idagdag ang 14 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$5x-3y=14$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$3x-2y=\frac{35}{7}$$

I-divide ang 35 gamit ang 7 para makuha ang 5.

$$3x-2y=5$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x-3y=14,3x-2y=5$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x-3y=14$$

Idagdag ang 3y sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=3y+14$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+14\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times 3y+14.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{14}{5}$$

I-substitute ang \frac{3y+14}{5} para sa x sa kabilang equation na 3x-2y=5.

$$3\left(\frac{3}{5}y+\frac{14}{5}\right)-2y=5$$

I-multiply ang 3 times \frac{3y+14}{5}.

$$\frac{9}{5}y+\frac{42}{5}-2y=5$$

Idagdag ang \frac{9y}{5} sa -2y.

$$-\frac{1}{5}y+\frac{42}{5}=5$$

I-subtract ang \frac{42}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{1}{5}y=-\frac{17}{5}$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -5.

$$y=17$$

I-substitute ang 17 para sa y sa x=\frac{3}{5}y+\frac{14}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{3}{5}\times 17+\frac{14}{5}$$

I-multiply ang \frac{3}{5} times 17.

$$x=\frac{51+14}{5}$$

Idagdag ang \frac{14}{5} sa \frac{51}{5} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=13$$

Nalutas na ang system.

$$x=13,y=17$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo.

$$5x-14-3y=0$$

Idagdag ang 14 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$5x-3y=14$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$3x-2y=\frac{35}{7}$$

I-divide ang 35 gamit ang 7 para makuha ang 5.

$$3x-2y=5$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x-3y=14,3x-2y=5$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{5\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&\frac{5}{5\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 14-3\times 5\\3\times 14-5\times 5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\17\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=13,y=17$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo.

$$5x-14-3y=0$$

Idagdag ang 14 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$5x-3y=14$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$3x-2y=\frac{35}{7}$$

I-divide ang 35 gamit ang 7 para makuha ang 5.

$$3x-2y=5$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x-3y=14,3x-2y=5$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$3\times 5x+3\left(-3\right)y=3\times 14,5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\times 5$$

Pasimplehin.

$$15x-9y=42,15x-10y=25$$

I-subtract ang 15x-10y=25 mula sa 15x-9y=42 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$15x-15x-9y+10y=42-25$$

Idagdag ang 15x sa -15x. Naka-cancel out ang term na 15x at -15x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-9y+10y=42-25$$

Idagdag ang -9y sa 10y.

$$y=42-25$$

Idagdag ang 42 sa -25.

$$y=17$$

I-substitute ang 17 para sa y sa 3x-2y=5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x-2\times 17=5$$

I-multiply ang -2 times 17.

$$3x-34=5$$

Idagdag ang 34 sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=39$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=13$$

Nalutas na ang system.

$$x=13,y=17$$