Lutasin ang {l}{5x=7z}{8x=9z}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 7 z } \\ { 8 x = 9 z } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, z

$$x=0$$

$$z=0$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 7z mula sa magkabilang dulo.

$$5x-7z=0$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 9z mula sa magkabilang dulo.

$$8x-9z=0$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x-7z=0,8x-9z=0$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x-7z=0$$

Idagdag ang 7z sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=7z$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\times 7z$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times 7z.

$$x=\frac{7}{5}z$$

I-substitute ang \frac{7z}{5} para sa x sa kabilang equation na 8x-9z=0.

$$8\times \frac{7}{5}z-9z=0$$

I-multiply ang 8 times \frac{7z}{5}.

$$\frac{56}{5}z-9z=0$$

Idagdag ang \frac{56z}{5} sa -9z.

$$\frac{11}{5}z=0$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{11}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$z=0$$

I-substitute ang 0 para sa z sa x=\frac{7}{5}z. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=0$$

Nalutas na ang system.

$$x=0,z=0$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 7z mula sa magkabilang dulo.

$$5x-7z=0$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 9z mula sa magkabilang dulo.

$$8x-9z=0$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x-7z=0,8x-9z=0$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}&-\frac{-7}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}\\-\frac{8}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}&\frac{5}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{11}&\frac{7}{11}\\-\frac{8}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at z.

$$x=0,z=0$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 7z mula sa magkabilang dulo.

$$5x-7z=0$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 9z mula sa magkabilang dulo.

$$8x-9z=0$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x-7z=0,8x-9z=0$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at 8x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 8 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$8\times 5x+8\left(-7\right)z=0,5\times 8x+5\left(-9\right)z=0$$

Pasimplehin.

$$40x-56z=0,40x-45z=0$$

I-subtract ang 40x-45z=0 mula sa 40x-56z=0 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$40x-40x-56z+45z=0$$

Idagdag ang 40x sa -40x. Naka-cancel out ang term na 40x at -40x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-56z+45z=0$$

Idagdag ang -56z sa 45z.

$$-11z=0$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -11.

$$z=0$$

I-substitute ang 0 para sa z sa 8x-9z=0. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$8x=0$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$x=0$$

Nalutas na ang system.

$$x=0,z=0$$