Lutasin ang {l}{5x=2y+16}{7x=32-2y}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 2 y + 16 } \\ { 7 x = 32 - 2 y } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=4$$

$$y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo.

$$5x-2y=16$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 2y sa parehong bahagi.

$$7x+2y=32$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x-2y=16$$

Idagdag ang 2y sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=2y+16$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+16\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times 16+2y.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}$$

I-substitute ang \frac{16+2y}{5} para sa x sa kabilang equation na 7x+2y=32.

$$7\left(\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}\right)+2y=32$$

I-multiply ang 7 times \frac{16+2y}{5}.

$$\frac{14}{5}y+\frac{112}{5}+2y=32$$

Idagdag ang \frac{14y}{5} sa 2y.

$$\frac{24}{5}y+\frac{112}{5}=32$$

I-subtract ang \frac{112}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{24}{5}y=\frac{48}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{24}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=2$$

I-substitute ang 2 para sa y sa x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{16}{5}$$

I-multiply ang \frac{2}{5} times 2.

$$x=\frac{4+16}{5}$$

Idagdag ang \frac{16}{5} sa \frac{4}{5} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=4$$

Nalutas na ang system.

$$x=4,y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo.

$$5x-2y=16$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 2y sa parehong bahagi.

$$7x+2y=32$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{-2}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}\\-\frac{7}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\-\frac{7}{24}&\frac{5}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{12}\times 32\\-\frac{7}{24}\times 16+\frac{5}{24}\times 32\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=4,y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo.

$$5x-2y=16$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 2y sa parehong bahagi.

$$7x+2y=32$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at 7x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 7 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$7\times 5x+7\left(-2\right)y=7\times 16,5\times 7x+5\times 2y=5\times 32$$

Pasimplehin.

$$35x-14y=112,35x+10y=160$$

I-subtract ang 35x+10y=160 mula sa 35x-14y=112 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$35x-35x-14y-10y=112-160$$

Idagdag ang 35x sa -35x. Naka-cancel out ang term na 35x at -35x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-14y-10y=112-160$$

Idagdag ang -14y sa -10y.

$$-24y=112-160$$

Idagdag ang 112 sa -160.

$$-24y=-48$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -24.

$$y=2$$

I-substitute ang 2 para sa y sa 7x+2y=32. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$7x+2\times 2=32$$

I-multiply ang 2 times 2.

$$7x+4=32$$

I-subtract ang 4 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$7x=28$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$x=4$$

Nalutas na ang system.

$$x=4,y=2$$