Lutasin ang {l}{5x+y=9}{10x-7y=-18}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 9 } \\ { 10 x - 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=1$$

$$y=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x+y=9$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=-y+9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+9\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times -y+9.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}$$

I-substitute ang \frac{-y+9}{5} para sa x sa kabilang equation na 10x-7y=-18.

$$10\left(-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}\right)-7y=-18$$

I-multiply ang 10 times \frac{-y+9}{5}.

$$-2y+18-7y=-18$$

Idagdag ang -2y sa -7y.

$$-9y+18=-18$$

I-subtract ang 18 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-9y=-36$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -9.

$$y=4$$

I-substitute ang 4 para sa y sa x=-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{5}\times 4+\frac{9}{5}$$

I-multiply ang -\frac{1}{5} times 4.

$$x=\frac{-4+9}{5}$$

Idagdag ang \frac{9}{5} sa -\frac{4}{5} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5\left(-7\right)-10}&-\frac{1}{5\left(-7\right)-10}\\-\frac{10}{5\left(-7\right)-10}&\frac{5}{5\left(-7\right)-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{45}&\frac{1}{45}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{45}\times 9+\frac{1}{45}\left(-18\right)\\\frac{2}{9}\times 9-\frac{1}{9}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=1,y=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at 10x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 10 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$10\times 5x+10y=10\times 9,5\times 10x+5\left(-7\right)y=5\left(-18\right)$$

Pasimplehin.

$$50x+10y=90,50x-35y=-90$$

I-subtract ang 50x-35y=-90 mula sa 50x+10y=90 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$50x-50x+10y+35y=90+90$$

Idagdag ang 50x sa -50x. Naka-cancel out ang term na 50x at -50x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$10y+35y=90+90$$

Idagdag ang 10y sa 35y.

$$45y=90+90$$

Idagdag ang 90 sa 90.

$$45y=180$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 45.

$$y=4$$

I-substitute ang 4 para sa y sa 10x-7y=-18. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$10x-7\times 4=-18$$

I-multiply ang -7 times 4.

$$10x-28=-18$$

Idagdag ang 28 sa magkabilang dulo ng equation.

$$10x=10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 10.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=4$$