Lutasin ang {l}{5x+y=-1}{2x+5y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = - 1 } \\ { 2 x + 5 y = 7 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-\frac{12}{23}\approx -0.52173913$$

$$y = \frac{37}{23} = 1\frac{14}{23} \approx 1.608695652$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x+y=-1,2x+5y=7$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x+y=-1$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=-y-1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y-1\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times -y-1.

$$x=-\frac{1}{5}y-\frac{1}{5}$$

I-substitute ang \frac{-y-1}{5} para sa x sa kabilang equation na 2x+5y=7.

$$2\left(-\frac{1}{5}y-\frac{1}{5}\right)+5y=7$$

I-multiply ang 2 times \frac{-y-1}{5}.

$$-\frac{2}{5}y-\frac{2}{5}+5y=7$$

Idagdag ang -\frac{2y}{5} sa 5y.

$$\frac{23}{5}y-\frac{2}{5}=7$$

Idagdag ang \frac{2}{5} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{23}{5}y=\frac{37}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{23}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{37}{23}$$

I-substitute ang \frac{37}{23} para sa y sa x=-\frac{1}{5}y-\frac{1}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{37}{23}-\frac{1}{5}$$

I-multiply ang -\frac{1}{5} times \frac{37}{23} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{37}{115}-\frac{1}{5}$$

Idagdag ang -\frac{1}{5} sa -\frac{37}{115} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{12}{23}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{12}{23},y=\frac{37}{23}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x+y=-1,2x+5y=7$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-2}&-\frac{1}{5\times 5-2}\\-\frac{2}{5\times 5-2}&\frac{5}{5\times 5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&-\frac{1}{23}\\-\frac{2}{23}&\frac{5}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\left(-1\right)-\frac{1}{23}\times 7\\-\frac{2}{23}\left(-1\right)+\frac{5}{23}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{23}\\\frac{37}{23}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{12}{23},y=\frac{37}{23}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x+y=-1,2x+5y=7$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$2\times 5x+2y=2\left(-1\right),5\times 2x+5\times 5y=5\times 7$$

Pasimplehin.

$$10x+2y=-2,10x+25y=35$$

I-subtract ang 10x+25y=35 mula sa 10x+2y=-2 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$10x-10x+2y-25y=-2-35$$

Idagdag ang 10x sa -10x. Naka-cancel out ang term na 10x at -10x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$2y-25y=-2-35$$

Idagdag ang 2y sa -25y.

$$-23y=-2-35$$

Idagdag ang -2 sa -35.

$$-23y=-37$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -23.

$$y=\frac{37}{23}$$

I-substitute ang \frac{37}{23} para sa y sa 2x+5y=7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x+5\times \frac{37}{23}=7$$

I-multiply ang 5 times \frac{37}{23}.

$$2x+\frac{185}{23}=7$$

I-subtract ang \frac{185}{23} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-\frac{24}{23}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=-\frac{12}{23}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{12}{23},y=\frac{37}{23}$$