Lutasin ang {l}{5x+7y=7}{3x+2y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 7 y = 7 } \\ { 3 x + 2 y = 11 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{63}{11} = 5\frac{8}{11} \approx 5.727272727$$

$$y = -\frac{34}{11} = -3\frac{1}{11} \approx -3.090909091$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x+7y=7,3x+2y=11$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x+7y=7$$

I-subtract ang 7y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=-7y+7$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-7y+7\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times -7y+7.

$$x=-\frac{7}{5}y+\frac{7}{5}$$

I-substitute ang \frac{-7y+7}{5} para sa x sa kabilang equation na 3x+2y=11.

$$3\left(-\frac{7}{5}y+\frac{7}{5}\right)+2y=11$$

I-multiply ang 3 times \frac{-7y+7}{5}.

$$-\frac{21}{5}y+\frac{21}{5}+2y=11$$

Idagdag ang -\frac{21y}{5} sa 2y.

$$-\frac{11}{5}y+\frac{21}{5}=11$$

I-subtract ang \frac{21}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{11}{5}y=\frac{34}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{11}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-\frac{34}{11}$$

I-substitute ang -\frac{34}{11} para sa y sa x=-\frac{7}{5}y+\frac{7}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{7}{5}\left(-\frac{34}{11}\right)+\frac{7}{5}$$

I-multiply ang -\frac{7}{5} times -\frac{34}{11} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{238}{55}+\frac{7}{5}$$

Idagdag ang \frac{7}{5} sa \frac{238}{55} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{63}{11}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{63}{11},y=-\frac{34}{11}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x+7y=7,3x+2y=11$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-7\times 3}&-\frac{7}{5\times 2-7\times 3}\\-\frac{3}{5\times 2-7\times 3}&\frac{5}{5\times 2-7\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}&\frac{7}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}\times 7+\frac{7}{11}\times 11\\\frac{3}{11}\times 7-\frac{5}{11}\times 11\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{11}\\-\frac{34}{11}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{63}{11},y=-\frac{34}{11}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x+7y=7,3x+2y=11$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$3\times 5x+3\times 7y=3\times 7,5\times 3x+5\times 2y=5\times 11$$

Pasimplehin.

$$15x+21y=21,15x+10y=55$$

I-subtract ang 15x+10y=55 mula sa 15x+21y=21 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$15x-15x+21y-10y=21-55$$

Idagdag ang 15x sa -15x. Naka-cancel out ang term na 15x at -15x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$21y-10y=21-55$$

Idagdag ang 21y sa -10y.

$$11y=21-55$$

Idagdag ang 21 sa -55.

$$11y=-34$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 11.

$$y=-\frac{34}{11}$$

I-substitute ang -\frac{34}{11} para sa y sa 3x+2y=11. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x+2\left(-\frac{34}{11}\right)=11$$

I-multiply ang 2 times -\frac{34}{11}.

$$3x-\frac{68}{11}=11$$

Idagdag ang \frac{68}{11} sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=\frac{189}{11}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{63}{11}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{63}{11},y=-\frac{34}{11}$$