Lutasin ang {l}{5x+5y=14}{2x+4y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 5 y = 14 } \\ { 2 x + 4 y = 10 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} = 2.2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x+5y=14,2x+4y=10$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x+5y=14$$

I-subtract ang 5y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=-5y+14$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-5y+14\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times -5y+14.

$$x=-y+\frac{14}{5}$$

I-substitute ang -y+\frac{14}{5} para sa x sa kabilang equation na 2x+4y=10.

$$2\left(-y+\frac{14}{5}\right)+4y=10$$

I-multiply ang 2 times -y+\frac{14}{5}.

$$-2y+\frac{28}{5}+4y=10$$

Idagdag ang -2y sa 4y.

$$2y+\frac{28}{5}=10$$

I-subtract ang \frac{28}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2y=\frac{22}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$y=\frac{11}{5}$$

I-substitute ang \frac{11}{5} para sa y sa x=-y+\frac{14}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{11}{5}+\frac{14}{5}$$

I-multiply ang -1 times \frac{11}{5}.

$$x=\frac{-11+14}{5}$$

Idagdag ang \frac{14}{5} sa -\frac{11}{5} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{3}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{11}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x+5y=14,2x+4y=10$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-5\times 2}&-\frac{5}{5\times 4-5\times 2}\\-\frac{2}{5\times 4-5\times 2}&\frac{5}{5\times 4-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 14-\frac{1}{2}\times 10\\-\frac{1}{5}\times 14+\frac{1}{2}\times 10\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{11}{5}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{11}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x+5y=14,2x+4y=10$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$2\times 5x+2\times 5y=2\times 14,5\times 2x+5\times 4y=5\times 10$$

Pasimplehin.

$$10x+10y=28,10x+20y=50$$

I-subtract ang 10x+20y=50 mula sa 10x+10y=28 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$10x-10x+10y-20y=28-50$$

Idagdag ang 10x sa -10x. Naka-cancel out ang term na 10x at -10x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$10y-20y=28-50$$

Idagdag ang 10y sa -20y.

$$-10y=28-50$$

Idagdag ang 28 sa -50.

$$-10y=-22$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -10.

$$y=\frac{11}{5}$$

I-substitute ang \frac{11}{5} para sa y sa 2x+4y=10. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x+4\times \frac{11}{5}=10$$

I-multiply ang 4 times \frac{11}{5}.

$$2x+\frac{44}{5}=10$$

I-subtract ang \frac{44}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=\frac{6}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{3}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{11}{5}$$