Lutasin ang {l}{5x+2y=34}{7x-3y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 34 } \\ { 7 x - 3 y = 7 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=4$$

$$y=7$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x+2y=34,7x-3y=7$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x+2y=34$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=-2y+34$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+34\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times -2y+34.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{34}{5}$$

I-substitute ang \frac{-2y+34}{5} para sa x sa kabilang equation na 7x-3y=7.

$$7\left(-\frac{2}{5}y+\frac{34}{5}\right)-3y=7$$

I-multiply ang 7 times \frac{-2y+34}{5}.

$$-\frac{14}{5}y+\frac{238}{5}-3y=7$$

Idagdag ang -\frac{14y}{5} sa -3y.

$$-\frac{29}{5}y+\frac{238}{5}=7$$

I-subtract ang \frac{238}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{29}{5}y=-\frac{203}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{29}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=7$$

I-substitute ang 7 para sa y sa x=-\frac{2}{5}y+\frac{34}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{2}{5}\times 7+\frac{34}{5}$$

I-multiply ang -\frac{2}{5} times 7.

$$x=\frac{-14+34}{5}$$

Idagdag ang \frac{34}{5} sa -\frac{14}{5} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=4$$

Nalutas na ang system.

$$x=4,y=7$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x+2y=34,7x-3y=7$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-2\times 7}&-\frac{2}{5\left(-3\right)-2\times 7}\\-\frac{7}{5\left(-3\right)-2\times 7}&\frac{5}{5\left(-3\right)-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{29}&\frac{2}{29}\\\frac{7}{29}&-\frac{5}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{29}\times 34+\frac{2}{29}\times 7\\\frac{7}{29}\times 34-\frac{5}{29}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=4,y=7$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x+2y=34,7x-3y=7$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at 7x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 7 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$7\times 5x+7\times 2y=7\times 34,5\times 7x+5\left(-3\right)y=5\times 7$$

Pasimplehin.

$$35x+14y=238,35x-15y=35$$

I-subtract ang 35x-15y=35 mula sa 35x+14y=238 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$35x-35x+14y+15y=238-35$$

Idagdag ang 35x sa -35x. Naka-cancel out ang term na 35x at -35x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$14y+15y=238-35$$

Idagdag ang 14y sa 15y.

$$29y=238-35$$

Idagdag ang 238 sa -35.

$$29y=203$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 29.

$$y=7$$

I-substitute ang 7 para sa y sa 7x-3y=7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$7x-3\times 7=7$$

I-multiply ang -3 times 7.

$$7x-21=7$$

Idagdag ang 21 sa magkabilang dulo ng equation.

$$7x=28$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$x=4$$

Nalutas na ang system.

$$x=4,y=7$$