Lutasin ang {l}{5x+2y=17}{2x+3y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 17 } \\ { 2 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{45}{11} = 4\frac{1}{11} \approx 4.090909091$$

$$y = -\frac{19}{11} = -1\frac{8}{11} \approx -1.727272727$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x+2y=17,2x+3y=3$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x+2y=17$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=-2y+17$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+17\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times -2y+17.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{17}{5}$$

I-substitute ang \frac{-2y+17}{5} para sa x sa kabilang equation na 2x+3y=3.

$$2\left(-\frac{2}{5}y+\frac{17}{5}\right)+3y=3$$

I-multiply ang 2 times \frac{-2y+17}{5}.

$$-\frac{4}{5}y+\frac{34}{5}+3y=3$$

Idagdag ang -\frac{4y}{5} sa 3y.

$$\frac{11}{5}y+\frac{34}{5}=3$$

I-subtract ang \frac{34}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{11}{5}y=-\frac{19}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{11}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-\frac{19}{11}$$

I-substitute ang -\frac{19}{11} para sa y sa x=-\frac{2}{5}y+\frac{17}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{2}{5}\left(-\frac{19}{11}\right)+\frac{17}{5}$$

I-multiply ang -\frac{2}{5} times -\frac{19}{11} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{38}{55}+\frac{17}{5}$$

Idagdag ang \frac{17}{5} sa \frac{38}{55} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{45}{11}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{45}{11},y=-\frac{19}{11}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x+2y=17,2x+3y=3$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-2\times 2}&-\frac{2}{5\times 3-2\times 2}\\-\frac{2}{5\times 3-2\times 2}&\frac{5}{5\times 3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&-\frac{2}{11}\\-\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 17-\frac{2}{11}\times 3\\-\frac{2}{11}\times 17+\frac{5}{11}\times 3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{45}{11}\\-\frac{19}{11}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{45}{11},y=-\frac{19}{11}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x+2y=17,2x+3y=3$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$2\times 5x+2\times 2y=2\times 17,5\times 2x+5\times 3y=5\times 3$$

Pasimplehin.

$$10x+4y=34,10x+15y=15$$

I-subtract ang 10x+15y=15 mula sa 10x+4y=34 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$10x-10x+4y-15y=34-15$$

Idagdag ang 10x sa -10x. Naka-cancel out ang term na 10x at -10x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$4y-15y=34-15$$

Idagdag ang 4y sa -15y.

$$-11y=34-15$$

Idagdag ang 34 sa -15.

$$-11y=19$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -11.

$$y=-\frac{19}{11}$$

I-substitute ang -\frac{19}{11} para sa y sa 2x+3y=3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x+3\left(-\frac{19}{11}\right)=3$$

I-multiply ang 3 times -\frac{19}{11}.

$$2x-\frac{57}{11}=3$$

Idagdag ang \frac{57}{11} sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=\frac{90}{11}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{45}{11}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{45}{11},y=-\frac{19}{11}$$