Lutasin ang {l}{5u+x=-10}{3u+3x=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 u + x = - 10 } \\ { 3 u + 3 x = 0 } \end{array} \right.$$

I-solve ang u, x

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$u = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5u+x=-10,3u+3x=0$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa u sa pamamagitan ng pag-isolate sa u sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5u+x=-10$$

I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5u=-x-10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$u=\frac{1}{5}\left(-x-10\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times -x-10.

$$u=-\frac{1}{5}x-2$$

I-substitute ang -\frac{x}{5}-2 para sa u sa kabilang equation na 3u+3x=0.

$$3\left(-\frac{1}{5}x-2\right)+3x=0$$

I-multiply ang 3 times -\frac{x}{5}-2.

$$-\frac{3}{5}x-6+3x=0$$

Idagdag ang -\frac{3x}{5} sa 3x.

$$\frac{12}{5}x-6=0$$

Idagdag ang 6 sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{12}{5}x=6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{12}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=\frac{5}{2}$$

I-substitute ang \frac{5}{2} para sa x sa u=-\frac{1}{5}x-2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang u nang direkta.

$$u=-\frac{1}{5}\times \frac{5}{2}-2$$

I-multiply ang -\frac{1}{5} times \frac{5}{2} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$u=-\frac{1}{2}-2$$

Idagdag ang -2 sa -\frac{1}{2}.

$$u=-\frac{5}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$u=-\frac{5}{2},x=\frac{5}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5u+x=-10,3u+3x=0$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-3}&-\frac{1}{5\times 3-3}\\-\frac{3}{5\times 3-3}&\frac{5}{5\times 3-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{12}\\-\frac{1}{4}&\frac{5}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-10\right)\\-\frac{1}{4}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na u at x.

$$u=-\frac{5}{2},x=\frac{5}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5u+x=-10,3u+3x=0$$

Para gawing magkatumbas ang 5u at 3u, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$3\times 5u+3x=3\left(-10\right),5\times 3u+5\times 3x=0$$

Pasimplehin.

$$15u+3x=-30,15u+15x=0$$

I-subtract ang 15u+15x=0 mula sa 15u+3x=-30 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$15u-15u+3x-15x=-30$$

Idagdag ang 15u sa -15u. Naka-cancel out ang term na 15u at -15u ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$3x-15x=-30$$

Idagdag ang 3x sa -15x.

$$-12x=-30$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -12.

$$x=\frac{5}{2}$$

I-substitute ang \frac{5}{2} para sa x sa 3u+3x=0. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang u nang direkta.

$$3u+3\times \frac{5}{2}=0$$

I-multiply ang 3 times \frac{5}{2}.

$$3u+\frac{15}{2}=0$$

I-subtract ang \frac{15}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3u=-\frac{15}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$u=-\frac{5}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$u=-\frac{5}{2},x=\frac{5}{2}$$