Lutasin ang {l}{5b+c=8}{4b+4c=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 b + c = 8 } \\ { 4 b + 4 c = 8 } \end{array} \right.$$

I-solve ang b, c

$$b = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$c=\frac{1}{2}=0.5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5b+c=8,4b+4c=8$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa b sa pamamagitan ng pag-isolate sa b sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5b+c=8$$

I-subtract ang c mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5b=-c+8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$b=\frac{1}{5}\left(-c+8\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times -c+8.

$$b=-\frac{1}{5}c+\frac{8}{5}$$

I-substitute ang \frac{-c+8}{5} para sa b sa kabilang equation na 4b+4c=8.

$$4\left(-\frac{1}{5}c+\frac{8}{5}\right)+4c=8$$

I-multiply ang 4 times \frac{-c+8}{5}.

$$-\frac{4}{5}c+\frac{32}{5}+4c=8$$

Idagdag ang -\frac{4c}{5} sa 4c.

$$\frac{16}{5}c+\frac{32}{5}=8$$

I-subtract ang \frac{32}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{16}{5}c=\frac{8}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{16}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$c=\frac{1}{2}$$

I-substitute ang \frac{1}{2} para sa c sa b=-\frac{1}{5}c+\frac{8}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang b nang direkta.

$$b=-\frac{1}{5}\times \frac{1}{2}+\frac{8}{5}$$

I-multiply ang -\frac{1}{5} times \frac{1}{2} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$b=-\frac{1}{10}+\frac{8}{5}$$

Idagdag ang \frac{8}{5} sa -\frac{1}{10} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$b=\frac{3}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$b=\frac{3}{2},c=\frac{1}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5b+c=8,4b+4c=8$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-4}&-\frac{1}{5\times 4-4}\\-\frac{4}{5\times 4-4}&\frac{5}{5\times 4-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{16}\\-\frac{1}{4}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 8-\frac{1}{16}\times 8\\-\frac{1}{4}\times 8+\frac{5}{16}\times 8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na b at c.

$$b=\frac{3}{2},c=\frac{1}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5b+c=8,4b+4c=8$$

Para gawing magkatumbas ang 5b at 4b, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$4\times 5b+4c=4\times 8,5\times 4b+5\times 4c=5\times 8$$

Pasimplehin.

$$20b+4c=32,20b+20c=40$$

I-subtract ang 20b+20c=40 mula sa 20b+4c=32 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$20b-20b+4c-20c=32-40$$

Idagdag ang 20b sa -20b. Naka-cancel out ang term na 20b at -20b ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$4c-20c=32-40$$

Idagdag ang 4c sa -20c.

$$-16c=32-40$$

Idagdag ang 32 sa -40.

$$-16c=-8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -16.

$$c=\frac{1}{2}$$

I-substitute ang \frac{1}{2} para sa c sa 4b+4c=8. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang b nang direkta.

$$4b+4\times \frac{1}{2}=8$$

I-multiply ang 4 times \frac{1}{2}.

$$4b+2=8$$

I-subtract ang 2 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4b=6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$b=\frac{3}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$b=\frac{3}{2},c=\frac{1}{2}$$