Lutasin ang {l}{40x+30y=500}{60x+15y=600}

$$\left. \begin{array} { l } { 40 x + 30 y = 500 } \\ { 60 x + 15 y = 600 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{35}{4} = 8\frac{3}{4} = 8.75$$

$$y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$40x+30y=500,60x+15y=600$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$40x+30y=500$$

I-subtract ang 30y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$40x=-30y+500$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 40.

$$x=\frac{1}{40}\left(-30y+500\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{40} times -30y+500.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}$$

I-substitute ang -\frac{3y}{4}+\frac{25}{2} para sa x sa kabilang equation na 60x+15y=600.

$$60\left(-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}\right)+15y=600$$

I-multiply ang 60 times -\frac{3y}{4}+\frac{25}{2}.

$$-45y+750+15y=600$$

Idagdag ang -45y sa 15y.

$$-30y+750=600$$

I-subtract ang 750 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-30y=-150$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -30.

$$y=5$$

I-substitute ang 5 para sa y sa x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{3}{4}\times 5+\frac{25}{2}$$

I-multiply ang -\frac{3}{4} times 5.

$$x=-\frac{15}{4}+\frac{25}{2}$$

Idagdag ang \frac{25}{2} sa -\frac{15}{4} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{35}{4}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{35}{4},y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$40x+30y=500,60x+15y=600$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{40\times 15-30\times 60}&-\frac{30}{40\times 15-30\times 60}\\-\frac{60}{40\times 15-30\times 60}&\frac{40}{40\times 15-30\times 60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{40}\\\frac{1}{20}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 500+\frac{1}{40}\times 600\\\frac{1}{20}\times 500-\frac{1}{30}\times 600\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{4}\\5\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{35}{4},y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$40x+30y=500,60x+15y=600$$

Para gawing magkatumbas ang 40x at 60x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 60 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 40.

$$60\times 40x+60\times 30y=60\times 500,40\times 60x+40\times 15y=40\times 600$$

Pasimplehin.

$$2400x+1800y=30000,2400x+600y=24000$$

I-subtract ang 2400x+600y=24000 mula sa 2400x+1800y=30000 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2400x-2400x+1800y-600y=30000-24000$$

Idagdag ang 2400x sa -2400x. Naka-cancel out ang term na 2400x at -2400x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$1800y-600y=30000-24000$$

Idagdag ang 1800y sa -600y.

$$1200y=30000-24000$$

Idagdag ang 30000 sa -24000.

$$1200y=6000$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 1200.

$$y=5$$

I-substitute ang 5 para sa y sa 60x+15y=600. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$60x+15\times 5=600$$

I-multiply ang 15 times 5.

$$60x+75=600$$

I-subtract ang 75 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$60x=525$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 60.

$$x=\frac{35}{4}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{35}{4},y=5$$