Lutasin ang {l}{4y-5x=-70}{x=-4y-34}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 y - 5 x = - 70 } \\ { x = - 4 y - 34 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x=6$$

$$y=-10$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 4y sa parehong bahagi.

$$x+4y=-34$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$4y-5x=-70$$

Idagdag ang 5x sa magkabilang dulo ng equation.

$$4y=5x-70$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$y=\frac{1}{4}\left(5x-70\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times -70+5x.

$$y=\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}$$

I-substitute ang -\frac{35}{2}+\frac{5x}{4} para sa y sa kabilang equation na 4y+x=-34.

$$4\left(\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}\right)+x=-34$$

I-multiply ang 4 times -\frac{35}{2}+\frac{5x}{4}.

$$5x-70+x=-34$$

Idagdag ang 5x sa x.

$$6x-70=-34$$

Idagdag ang 70 sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x=36$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$x=6$$

I-substitute ang 6 para sa x sa y=\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=\frac{5}{4}\times 6-\frac{35}{2}$$

I-multiply ang \frac{5}{4} times 6.

$$y=\frac{15-35}{2}$$

Idagdag ang -\frac{35}{2} sa \frac{15}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$y=-10$$

Nalutas na ang system.

$$y=-10,x=6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 4y sa parehong bahagi.

$$x+4y=-34$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{4-\left(-5\times 4\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}&\frac{5}{24}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\left(-70\right)+\frac{5}{24}\left(-34\right)\\-\frac{1}{6}\left(-70\right)+\frac{1}{6}\left(-34\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\6\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=-10,x=6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 4y sa parehong bahagi.

$$x+4y=-34$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

I-subtract ang 4y+x=-34 mula sa 4y-5x=-70 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$4y-4y-5x-x=-70+34$$

Idagdag ang 4y sa -4y. Naka-cancel out ang term na 4y at -4y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-5x-x=-70+34$$

Idagdag ang -5x sa -x.

$$-6x=-70+34$$

Idagdag ang -70 sa 34.

$$-6x=-36$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -6.

$$x=6$$

I-substitute ang 6 para sa x sa 4y+x=-34. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$4y+6=-34$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4y=-40$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$y=-10$$

Nalutas na ang system.

$$y=-10,x=6$$