Lutasin ang {l}{4x-y=1}{2x+y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - y = 1 } \\ { 2 x + y = 4 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$4x-y=1,2x+y=4$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$4x-y=1$$

Idagdag ang y sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=y+1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+1\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times y+1.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}$$

I-substitute ang \frac{1+y}{4} para sa x sa kabilang equation na 2x+y=4.

$$2\left(\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}\right)+y=4$$

I-multiply ang 2 times \frac{1+y}{4}.

$$\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}+y=4$$

Idagdag ang \frac{y}{2} sa y.

$$\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=4$$

I-subtract ang \frac{1}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{3}{2}y=\frac{7}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{3}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{7}{3}$$

I-substitute ang \frac{7}{3} para sa y sa x=\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{1}{4}\times \frac{7}{3}+\frac{1}{4}$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times \frac{7}{3} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{7}{12}+\frac{1}{4}$$

Idagdag ang \frac{1}{4} sa \frac{7}{12} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{5}{6}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{7}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$4x-y=1,2x+y=4$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{4-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{4-\left(-2\right)}&\frac{4}{4-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\times 4\\-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{7}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$4x-y=1,2x+y=4$$

Para gawing magkatumbas ang 4x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 4.

$$2\times 4x+2\left(-1\right)y=2,4\times 2x+4y=4\times 4$$

Pasimplehin.

$$8x-2y=2,8x+4y=16$$

I-subtract ang 8x+4y=16 mula sa 8x-2y=2 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$8x-8x-2y-4y=2-16$$

Idagdag ang 8x sa -8x. Naka-cancel out ang term na 8x at -8x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-2y-4y=2-16$$

Idagdag ang -2y sa -4y.

$$-6y=2-16$$

Idagdag ang 2 sa -16.

$$-6y=-14$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -6.

$$y=\frac{7}{3}$$

I-substitute ang \frac{7}{3} para sa y sa 2x+y=4. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x+\frac{7}{3}=4$$

I-subtract ang \frac{7}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=\frac{5}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{5}{6}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{7}{3}$$