Lutasin ang {l}{4x=44+5y}{5x=-27-4y}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x = 44 + 5 y } \\ { 5 x = - 27 - 4 y } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=1$$

$$y=-8$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 5y mula sa magkabilang dulo.

$$4x-5y=44$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 4y sa parehong bahagi.

$$5x+4y=-27$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$4x-5y=44,5x+4y=-27$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$4x-5y=44$$

Idagdag ang 5y sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=5y+44$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+44\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times 5y+44.

$$x=\frac{5}{4}y+11$$

I-substitute ang \frac{5y}{4}+11 para sa x sa kabilang equation na 5x+4y=-27.

$$5\left(\frac{5}{4}y+11\right)+4y=-27$$

I-multiply ang 5 times \frac{5y}{4}+11.

$$\frac{25}{4}y+55+4y=-27$$

Idagdag ang \frac{25y}{4} sa 4y.

$$\frac{41}{4}y+55=-27$$

I-subtract ang 55 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{41}{4}y=-82$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{41}{4}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-8$$

I-substitute ang -8 para sa y sa x=\frac{5}{4}y+11. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{5}{4}\left(-8\right)+11$$

I-multiply ang \frac{5}{4} times -8.

$$x=-10+11$$

Idagdag ang 11 sa -10.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=-8$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 5y mula sa magkabilang dulo.

$$4x-5y=44$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 4y sa parehong bahagi.

$$5x+4y=-27$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$4x-5y=44,5x+4y=-27$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\-27\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}4&-5\\5&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\-27\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\-27\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\-27\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-\left(-5\times 5\right)}&-\frac{-5}{4\times 4-\left(-5\times 5\right)}\\-\frac{5}{4\times 4-\left(-5\times 5\right)}&\frac{4}{4\times 4-\left(-5\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\-27\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{41}&\frac{5}{41}\\-\frac{5}{41}&\frac{4}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\-27\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{41}\times 44+\frac{5}{41}\left(-27\right)\\-\frac{5}{41}\times 44+\frac{4}{41}\left(-27\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-8\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=1,y=-8$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 5y mula sa magkabilang dulo.

$$4x-5y=44$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 4y sa parehong bahagi.

$$5x+4y=-27$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$4x-5y=44,5x+4y=-27$$

Para gawing magkatumbas ang 4x at 5x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 5 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 4.

$$5\times 4x+5\left(-5\right)y=5\times 44,4\times 5x+4\times 4y=4\left(-27\right)$$

Pasimplehin.

$$20x-25y=220,20x+16y=-108$$

I-subtract ang 20x+16y=-108 mula sa 20x-25y=220 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$20x-20x-25y-16y=220+108$$

Idagdag ang 20x sa -20x. Naka-cancel out ang term na 20x at -20x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-25y-16y=220+108$$

Idagdag ang -25y sa -16y.

$$-41y=220+108$$

Idagdag ang 220 sa 108.

$$-41y=328$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -41.

$$y=-8$$

I-substitute ang -8 para sa y sa 5x+4y=-27. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$5x+4\left(-8\right)=-27$$

I-multiply ang 4 times -8.

$$5x-32=-27$$

Idagdag ang 32 sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=-8$$