Lutasin ang {l}{4x+y=7}{3x+2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 7 } \\ { 3 x + 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=1$$

$$y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$4x+y=7,3x+2y=9$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$4x+y=7$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=-y+7$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+7\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times -y+7.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{7}{4}$$

I-substitute ang \frac{-y+7}{4} para sa x sa kabilang equation na 3x+2y=9.

$$3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{7}{4}\right)+2y=9$$

I-multiply ang 3 times \frac{-y+7}{4}.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{21}{4}+2y=9$$

Idagdag ang -\frac{3y}{4} sa 2y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{21}{4}=9$$

I-subtract ang \frac{21}{4} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{5}{4}y=\frac{15}{4}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{5}{4}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=3$$

I-substitute ang 3 para sa y sa x=-\frac{1}{4}y+\frac{7}{4}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{4}\times 3+\frac{7}{4}$$

I-multiply ang -\frac{1}{4} times 3.

$$x=\frac{-3+7}{4}$$

Idagdag ang \frac{7}{4} sa -\frac{3}{4} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$4x+y=7,3x+2y=9$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-3}&-\frac{1}{4\times 2-3}\\-\frac{3}{4\times 2-3}&\frac{4}{4\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 7-\frac{1}{5}\times 9\\-\frac{3}{5}\times 7+\frac{4}{5}\times 9\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=1,y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$4x+y=7,3x+2y=9$$

Para gawing magkatumbas ang 4x at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 4.

$$3\times 4x+3y=3\times 7,4\times 3x+4\times 2y=4\times 9$$

Pasimplehin.

$$12x+3y=21,12x+8y=36$$

I-subtract ang 12x+8y=36 mula sa 12x+3y=21 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$12x-12x+3y-8y=21-36$$

Idagdag ang 12x sa -12x. Naka-cancel out ang term na 12x at -12x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$3y-8y=21-36$$

Idagdag ang 3y sa -8y.

$$-5y=21-36$$

Idagdag ang 21 sa -36.

$$-5y=-15$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -5.

$$y=3$$

I-substitute ang 3 para sa y sa 3x+2y=9. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x+2\times 3=9$$

I-multiply ang 2 times 3.

$$3x+6=9$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=3$$