Lutasin ang {l}{4x+y=15}{5y+19x=30}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 15 } \\ { 5 y + 19 x = 30 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=45$$

$$y=-165$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$4x+y=15$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=-y+15$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+15\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times -y+15.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}$$

I-substitute ang \frac{-y+15}{4} para sa x sa kabilang equation na 19x+5y=30.

$$19\left(-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}\right)+5y=30$$

I-multiply ang 19 times \frac{-y+15}{4}.

$$-\frac{19}{4}y+\frac{285}{4}+5y=30$$

Idagdag ang -\frac{19y}{4} sa 5y.

$$\frac{1}{4}y+\frac{285}{4}=30$$

I-subtract ang \frac{285}{4} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{165}{4}$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$y=-165$$

I-substitute ang -165 para sa y sa x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-165\right)+\frac{15}{4}$$

I-multiply ang -\frac{1}{4} times -165.

$$x=\frac{165+15}{4}$$

Idagdag ang \frac{15}{4} sa \frac{165}{4} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=45$$

Nalutas na ang system.

$$x=45,y=-165$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-19}&-\frac{1}{4\times 5-19}\\-\frac{19}{4\times 5-19}&\frac{4}{4\times 5-19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-1\\-19&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 15-30\\-19\times 15+4\times 30\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\-165\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=45,y=-165$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

Para gawing magkatumbas ang 4x at 19x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 19 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 4.

$$19\times 4x+19y=19\times 15,4\times 19x+4\times 5y=4\times 30$$

Pasimplehin.

$$76x+19y=285,76x+20y=120$$

I-subtract ang 76x+20y=120 mula sa 76x+19y=285 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$76x-76x+19y-20y=285-120$$

Idagdag ang 76x sa -76x. Naka-cancel out ang term na 76x at -76x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$19y-20y=285-120$$

Idagdag ang 19y sa -20y.

$$-y=285-120$$

Idagdag ang 285 sa -120.

$$-y=165$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$y=-165$$

I-substitute ang -165 para sa y sa 19x+5y=30. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$19x+5\left(-165\right)=30$$

I-multiply ang 5 times -165.

$$19x-825=30$$

Idagdag ang 825 sa magkabilang dulo ng equation.

$$19x=855$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 19.

$$x=45$$

Nalutas na ang system.

$$x=45,y=-165$$